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¿Toda función tiene función inversa?

Autor:angelfogetto
Durante esta actividad exploraremos cuándo una función admite función inversa. Para ello analizaremos distintas representaciones mediante diagramas de flechas y utilizaremos un applet de GeoGebra para formular y justificar nuestras conclusiones. No es necesario conocer previamente la definición formal de función biyectiva. El objetivo es descubrir las condiciones necesarias a partir de la exploración y la discusión.

Considere los conjuntos

A = {1,2,3} y B = {a,b,c} g : A → B g = {(1,a), (2,a), (3,b)} Explore el applet modificando las correspondencias entre los elementos de los conjuntos. Observe cómo cambian automáticamente las propiedades de la función.

Luego de la exploración responda:

a) Clasifique las funcion g como inyectivas, sobreyectivas o biyectivas. b) Modifique las correspondencias para construir:

  • una función inyectiva;
  • una función sobreyectiva;
  • una función biyectiva;
  • una función que no admita función inversa.
c) ¿Qué características observa en cada caso? d) ¿Es posible obtener otras combinaciones diferentes a las propuestas? Construya al menos dos ejemplos y clasifíquelos. e) ¿Qué relación encuentra entre las propiedades de la función y la posibilidad de que exista una función inversa?

Considere los conjuntos

A = {1,2,3} C = {m,n,p,q} i : A → C i = {(1,n), (2,q), (3,p)} Explore las distintas correspondencias modificando las flechas y observe cómo cambia automáticamente la clasificación de cada función. Luego responda las siguientes actividades.

a) Clasifique las función k : C → A k = {(n,1), (m,2), (p,1), (q,3)} b) Construya una función que sea:

  • función;
  • no función;
  • sobreyectiva;
  • no sobreyectiva.
c) ¿Qué ocurre cuando un elemento del dominio tiene dos imágenes? d) ¿Qué ocurre cuando un elemento del dominio queda sin imagen? e) Explique por qué en algunos casos no es posible construir una función biyectiva.

Considere los conjuntos

k : C → A k = {(n,1), (m,2), (p,1), (q,3)} Explore las distintas correspondencias modificando las flechas y observe cómo cambia automáticamente la clasificación de cada función. Luego responda las siguientes actividades.

b) Analice las relaciones representadas en los applets.

  1. Clasifique cada relación como función o no función.
  2. Compare los resultados obtenidos con la clasificación de la función original.
  3. ¿Qué condición parece ser necesaria para que, al invertir las flechas, la relación obtenida también sea una función?
  4. Formule una conclusión con sus propias palabras.

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