Berührorte - konzyklisch
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene (April 2022)
Eine notwendige Voraussetzung für das Vorliegen eines 6-Ecknetzes aus 3 W-Kurven-Scharen in der Moebiusebene ist,
dass die Berührorte der 3 Scharen zerfallen: das sind die Orte, in welchen die Kurven aus je 2 der Scharen sich berühren.
Allgemein gilt für 2 Kreisbüschel, und allgemeiner für 2 W-Kurvenscharen mit 2*2 verschiedenen Polen, dass die Berührorte
nie zerfallen, wenn die 4 Pole weder konzyklisch, noch spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen liegen;
siehe CASSINI, Wurzel und Umfangswinkel
In dieser Aktivität untersuchen wir den Fall, dass die 2*2 Pole von 2 W-Kurvenscharen verschieden und konzyklisch sind.
Zu 4 verschiedenen konzyklischen Polen kann man auf 3 verschiedenen Arten 2 elliptische Kreisbüschel mit diesen Polen bilden.
Mit einer geeigneten Möbiustransformation kann man die Pole so auf die reelle Achse legen,
dass gilt.
Das Applet zeigt, dass die Berührorte zweier elliptischen Kreisbüschel mit 4 verschiedenen konzyklischen Polen
in zwei Kreise zerfallen; einer dieser Kreise kann imaginär sein.
Eine W-Kurvenschar mit 2 Polen besteht aus den Kurven, welche das zugehörige elliptische Kreisbüschel unter konstantem
Winkel schneiden, den Loxodromen zu diesem Winkel.
Der Berührort zweier W-Kurvenscharen mit 2*2 verschiedenen Polen ist der Ort, in welchem sich die Kreise der beiden
elliptischen Kreisbüschel unter konstanten Winkel schneiden.
Die Applets zeigen, dass diese Berührorte nur zerfallen für den Schnittwinkel , also für den Berührort der beiden elliptischen Kreisbüschel.
Alle anderen Winkel ergeben Möbiustransformierte von CASSINI-Kurven, also irreduzible bizirkulare Quartiken.
Für die Pol-Paare {} und {} entstehen die CASSINI-Kurven aus den Peripherie-Winkelkreisen über der
Strecke - unter der Wurzel-Funktion.
Für die sich trennenden Pol-Paare {} und {} transformieren wir die Pole auf den Einheitskreis
mit der Möbiustransformation .
Es entsteht die im Applet unten angezeigte Situation: Die Schnittorte zu vorgegebenen Winkel sind wieder CASSINI-Quartiken,
die aus Peripherie-Winkelkreisen unter der Wurzel-Funktion hervorhgehen.
Ein Sonderfall liegt vor, wenn die Pole sich harmonisch trennen. Sie liegen dann sowohl konzyklisch,
als auch spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen. Nur in diesem Falle zerfallen auch die 90°-Schnittorte.
Für die Pol-Paare {}, {} im 1. Applet führt die Möbiustransformation auf eine Lage der Pole,
wie sie im 1. Applet für die Darstellung der Peripherie-Winkel-Orte verwendet wurde.
Siehe im Applet unten das Bild des linken Fensters unter der Möbiustransformation im rechten Fenster.
Zusammenfassung:
Sind die 4 verschiedenen Pole zweier Möbius-W-Bewegungen konzyklisch, jedoch nicht in harmonischer Lage,
so zerfallen die Berührorte der Bahnkurven nur dann, wenn die Kurven die Kreise zweier elliptischen Kreisbüschel
mit diesen Polen oder die dazugehörenden Loxodrome zu einem konstanten gemeinsamen Winkel sind.
Dazu gehören auch die beiden polaren hyperbolischen Kreisbüschel.
Hinweis: dreht man die infinitesimalen Bewegungen um einen gemeinsamen komplexen Faktor, so sind
die Berührorte invariant!
Sonderfall:
Sind die Pole konzyklisch und 2 der Pol-Paare in harmonischer Lage, so zerfällt zusätzlich zum Berührort der elliptischen
Kreisbüschel auch der Berührort der Kreise des einen elliptischen Kreisbüschels und der Kreise des anderen hyperbolischen
Kreisbüschels.
Der Ort der Punkte, in welchen sich die Kreise zweier elliptischen Kreisbschel mit 4 verschiedenen konzyklischen Polen
unter dem Winkel schneiden ist auch der Ort der Punkte, in welchen sich die Loxodrome zu einem gemeinsamen
Winkel unter dem Winkel schneiden.
Kurz: eine gemeinsame Drehung der Infinitesimalen läßt die Peripherie-Winkel-Orte invariant!