Kuvvetler Farkının Kanıtı ve Polinomlara Uygulanım Örneği

Lise yıllarımızdan beri eşitliklerini biliriz. Bu yazıda yukarıdaki eşitliklerin genel hali olan kuvvet farkına eşit olan cebirsel ifadeyi tanımlayıp, kanıtını gösterdikten sonra bulduğumuz sonucu katsayıları tamsayı olan polinomlar üzerine uygulayıp bu tip polinomlara dair çıkarım elde etmeye çalışacağız. Önce genel form için eşitliğimizi yazalım: Teorem: Her için, eşitliği kanıtlayalım. Kanıt: Önce ifademizi toplam sembolü kullanarak derleyelim: olacaktır. Sırasıyla ve ile çarpıp ifademizi açalım, birinci toplamdan ilk terimi, ikinci toplamdan son terimi ayıralım: toplam sembollerini sınırları aynı olacak şekilde düzenleyelim, , Gerekli işlemleri yapıp, istediğimiz sonuca ulaşmaya çalışalım: olur kanıt tamamlanmıştır. Buradan, her ve tamsayıları için, sayısının sayısını böldüğünü söyleyebiliriz. Şimdi ilk uygulamamızı yapalım; katsayıları tamsayı olan bir polinomu için sayısının sayısını böldüğünü kanıtlayalım. Teorem: katsayıları tamsayı olan bir polinom olmak üzere; her ve sayıları için, sayısı sayısını böler. Kanıt: Önce polinom hatırlatması yapalım: olarak olarak ifade edilen yapılara polinom denir. sayıları polinomun katsayılarıdır. ve sayılarını polinomda yerlerine yazarak başlayalım: toplam sembolü ile derleyelim, ve olur. Şimdi bu iki sayının farkını alalım: Yukarıdaki teoremde; her ve sayıları için, sayısının sayısını böleceğini kanıtlamıştık. Toplamımızı oluşturan terimlere bakıldığında her için, olduğundan sayısı sayısını böler. Yani, olur kanıt tamamlanmıştır. Şimdi bulduğumuz sonuçları ve meşhur Güvercin Yuvası İlkesini kullanarak şaşırtıcı güzelliğe sahip bir örnekle devam edelim. Örnek: katsayıları tamsayı olan bir polinom olsun. Her için, eğer eşitliğini sağlayan üç tamsayı varsa eşitliğini sağlayan bir tamsayı olmadığını gösterin. Çözüm: , ve şartını sağlayan üç tamsayı olsun. Yani, olarak seçilsin ve olsun. Bu durumda yukarıda elde ettiğimiz çıkarımlardan; olarak yazabiliriz. Öyle ise , ve sayıları 'e ya da 'e eşit olmalı. Bu durumda üç sayıdan en az ikisi birbirine eşit olmalıdır. [Güvercin Yuvası İlkesi, Gauss] Buradan da , , ve sayılarından en az ikisinin eşit olması gerektiği çıkar. böylece çözümümüz tamamlanmıştır.

Bilal DEMİR Matematik Öğretmeni