Wovon hängt die Anzahl der markanten Punkte des Graphen ab?
Applet erkunden
Erkunde zunächst anhand des Applets, welchen Einfluss die Parameter und der Grad der Funktion auf die Anzahl der markanten Punkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extrempunkte, Wendepunkte) haben? Unter dem Applet findest du Hilfestellungen, die dir bei der strukturierten Untersuchung helfen können.
Hilfestellungen
Der Schieberegler legt den Grad der ganzrationalen Funktion fest. Die Parameter legen die Funktionsgleichung gemäß fest.
Untersuche in Abhängigkeit vom Grad der Funktion
- wieviele und welche Art von Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen es gibt
- wieviele und welche Art von Extrempunkten es gibt.
Es kann helfen, eure Zwischenergebnisse in der Tabelle festzuhalten.
Anzahl der markanten Punkte für den Grad n=0
Beginne mit dem Grad . Untersuche, welchen Einfluss der Parameter auf den Graph der Funktion hat.
Beschreibe die Graphen möglichst genau.
Für welche Werte von gibt es Nullstellen? Fällt dir etwas Besonderes auf?
Für welche Werte von gibt es lokale Hoch- oder Tiefpunkte?
Anzahl der markanten Punkte für größere Grade n
Erhöhe nun schrittweise den Grad der Funktion. Untersuche jeweils, welchen Einfluss die Parameter nun auf den Graph der Funktion haben.
Beschreibe die Graphen möglichst genau.
a) Für welche Werte von gibt es Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen?
Wie viele Schnittpunkte gibt es mit der x-Achse und wie viele mit der y-Achse?
Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Grad n der Funktion und der Anzahl der Schnittpunkte (mit der x- bzw. y-Achse)?
b) Für welche Werte von gibt es lokale Hoch- oder Tiefpunkte?
Wie viele lokale Hoch- oder Tiefpunkte gibt es minimal/ maximal?
Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Grad n der Funktion und der Anzahl der Hoch- bzw- Tiefpunkte?
Auswertung
Diskutiert die Tabelle:
- Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Zellen in einer Zeile?
- Gibt es Ausnahmen, die die Formulierung eines Zusammenhangs verhindern?
- Was fällt euch sonst auf?