１９．積分と体積
このページは電子ブック「探求 数学Ⅲ」の一部です。
切頭円柱の体積は？
１．積分と体積
円柱x2+y2=42(ｚが4以下)を平面z=xの下の部分（切頭円柱[decapitated cylinder]）の体積を求めたい。
斜柱のｙ座標はxの変域をx=[-4,4]とするとき、y=√(16-x2)となる。
・斜柱をｘ軸に垂直に切ったときの断面[cross section, slice]はたてがｚ＝ｘ、よこが2√(16-x2)の長方形だから、
面積S（ｘ）＝2ｘ√(16-x2)。これをｘ＝０から４まで積分すればよいね。
V=integral(S(x),0,4)=
・斜柱をｙ軸に垂直に切ったときの断面はたてよこともに√(16-x2)の直角二等辺三角形だから、
面積S(x)=1/2(16-x2)。これをｙ＝-4から４まで積分すればよいね。
V=integral(S(x),-4,4)=
★半円を回す
★楕円を回す
★サイクロイドも回す
回転軸を変えてみる
２．回転体の体積
回転体[rotating body,body of rotation; rotator; body of revolution]はｘ軸で回すと、
積分範囲はｘ=[a,b]になり半径ｙの円盤の総和になる。
だから、円盤の面積をS(x)=πｙ2とすると、V=integral(S(x),a,b)になるね。
（例）
「ｙ＝√(a2-x2)の半円をｘ軸で回転してできる球の体積」は？
π・integral(ｙ2,-a,a)=π integral(a2-x2,-a,a)=2π integral(a2-x2,0,a)=2π(a2a-1/3a3)-0=4/3πa3
（例）
「(x/a)2+(y/b)2=1の楕円をｘ軸で回転してできる回転楕円体の体積」は？
b2(x/a)2+y2=b2から、y2=b2(1-(x/a)2) x=[-a,a]
π・integral(ｙ2,-a,a)=π integral(b2-(b/a)2x2,-a,a)=2π b2/a2integral(a2-x2,0,a)=4/3πb2a
（例）
「サイクロイド(x,y)=(a(t-sint),a(1-cost))（tは2π以下で非負）ｘ軸で回転してできる立体の体積」は？
ｘ軸に垂直に切った断面はS(x)=πy2dx=πy2dx/dt dt=πy2(x') dt=πa2(1-cost)2a(1-cost)dt
=πa3(1-cost)3dt=πa3Pdt
・２倍角、３倍角を使うと
cos3t=4cos3t-3cost, cos2t=2cos2t-1から、cos3t=(cos3t+3cost)/4,cos2t=(1+cos2t)/2
P=1-3cost+3cos2t-cos3t=1-3cost+3/2+3/2cos2t-1/4cos3t-3/4cost
=5/2-15/4cost +3/2cos2t- 1/4cos3t=1/4(10-15cost+6cos2t-cos3t)
結局、S(x)=πa3/4(10-15cost+6cos2t-cos3t)dtとなるね。
V=
（例）
「ｙ＝f(x)=xcosx(第１象限）とｘ軸に囲まれた領域の回転体の体積（回転軸はｘまたはｙ）」は？
・x軸との交点はx=0, π/2だから、ｘ軸で回転するときの積分区間はx=[0,π/2]
ｘ軸に垂直に切った断面はS(x)=πy2dx=πx2cos2x dx=1/2・πx2(1+cos2x)dx=1/2π(x2+x2cos2x)dx
∫x2=1/3x3, integral(x2,0,π/2)=1/3(π/2)3=π3/24。部分積分を２回やろう。
f,G=cos2x,x2ならF,g=1/2sin2x, 2x からFg=xsin2x の積分が-1/2xcos2x＋∫cos2x=-1/2xcos2x+sin2x
∫x2cos2x=x2/2・sin2x-∫xsin2x dx＝x2/2sin2x+1/2xcos2x-sin2xから、sin2xはx=0でもx=π/2でも０で、
integral(x2cos2x,0,π/2)=[1/2xcos2x, 0,π/2]=1/2・π/2(-1)=-π/4。
以上からV1=∫S(x)=1/2・π(π3/24ーπ/4)=π4/48-π2/8
・y軸で回転するとき原点からの距離ｘで厚さdxに切った円柱側面(バウムクーヘンの年輪）は切り開くと2πxの幅で高さy、厚みがdxだから、体積dV(x)=2πxydx。これを積分区間x=[0,π/2]で集めよう。
V2=2π∫x(xcosx)dx=2π(∫x2cosxdx)。これは上と同じように部分積分を２回やろう。
f,G=cosx,x2ならF,g=sinx, 2x からFg=2xsinx の積分が2∫xsinxdx= 2(x(-cosx)-∫(-cosx))=2(-xcosx+sinx)
∫x2cosxdx=x2・sinx- 2∫ x sinxdx = x2・sinx +2xcosx-2sinx=P(x)となる。
だから、V2=2π[p(π/2)- p(0)]=2π[((π/2)2-2) - 0 ]=π3/2 - 4π