Besondere Punkte und Linien in Dreiecken mit Vektoren erfassen
a) Welche besonderen Linien und Punkte haben wir kennen gelernt?
In einem Dreieck kannst du verschiedene besondere Linien einzeichnen, die eine Bedeutung für die Eigenschaften des Dreiecks haben. Dieses Arbeitsblatt gibt dir einen Überblick.
Übersicht über besondere Linien und Punkte im Dreieck
Weißt du das noch?
Der Schwerpunkt von einem linearen Segment durch Punkte A und B wird vektoriell erfasst durch
Schwerpunkt im Dreieck
Der Schwerpunkt in einem Dreieck mit Eckpunkten A,B,C wird vektoriell erfasst durch
Der Umkreismittelpunkt und Umkreisradius
Wie du oben gesehen hast, ist der Umkreismittelpunkt der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten , und .
Vorgehensweise:
a) Bilde die Richtungsvektoren AB, BC und AC (es reichen im Prinzip zwei Vektoren)
b) Ermittle die Mittelpunkte (Schwerpunkte) der Seiten a,b,c (es reichen zwei)
b) Ermittle aus den Richtungsvektoren durch Drehung die Normalenvektoren zu den Seiten a,b,c (es reichen zwei)
c) Ermittle die Parameterformen der Mittelsenkrechtengeraden
d) Ermittle den Schnittpunkt der Geraden durch Gleichsetzen der Parameterformen
Alternativ: Ermittle die allgemeine Geradengleichungen aus der Normalenvektorgleichung für die Mittelsenkrechten. Dazu benötigt: Die Richtungsvektoren für zwei Seiten z.B. a und c und die zugehörigen Mittelpunkte
Umkreisradius: Berechne den Betrag eines Verbindungsvektors zwischen dem Mittelpunkt und einem Eckpunkt des Dreieck
Jetzt du!
Ermittle den Umkreismittelpunkt zum Dreieck mit Eckpunkten A(-2;0), B(0;3) und C(3;1)
Der Inkreismittelpunkt
Der Inkreismittelpunkt M_I ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks. Er kann durch eine einfache Formel erfasst werden.
Formel: M_I = (aA+bB+cC)/(a+b+c)
Der Inkreisradius r_I ist der Normalenabstand des Punktes M_I zu den Seiten a,b,c
Idee zur Herleitung:
Die Winkelhalbierenden können wie folgt erfasst werden:
Winkelhalbierende durch den Eckpunkt A: der Richtungsvektor w_A ist die Vektorsumme
w_A=bAB+cAC
Erläuterung: die Verbindungsvektoren von A zu B und C werden so skaliert, dass sie die gleiche Länge besitzen. Die Vektorsumme von zwei gleich langen Vektoren ist ein Vektor, der den Winkel der beiden Vektoren halbiert.
Ermittelt man nun den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden w_A, w_B , w_C erhält man mit etwas Rechnung die obige Formel.
Challenge: leite die obige Formel her!
Jetzt du!
Ermittle zum obigen Dreieck rechnerisch den Inkreismittelpunkt und den Inkreisradius
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