Uma bijeção entre o plano R² e o disco aberto unitário.
- Autor:
- Gabriel Lavagnoli
Esta atividade tem como objetivo exercitar a construção de funções vetoriais de várias variáveis através do seguinte problema: construa uma bijeção entre o plano e o disco aberto unitário.
É solicitado aos estudantes seguir os seguintes passos:
1. Encontrar uma função real de uma variável com as seguintes características:
(a) Domínio seja os números reais não negativos e a imagem o intervalo.
(b) Ser uma função contínua e invertível.
(c)
(d) Crescente (os 3 itens anteriores, já garantem que a função será crescente).
2. De posse da função acima, construir uma transformação , cuja imagem de qualquer vetor seja um múltiplo escalar deste, ou seja, a transformação muda apenas o comprimento do vetor:
, e .
3. Após a definição da transformação , apresentar as imagens de algumas retas e outros objetos.
Neste material foi escolhido a função , mas facilmente pode ser trocada por outra (por exemplo, ). É interessante comparar as imagens de algumas retas e outras curvas usando transformações distintas. Mudar as propriedades exigidas para também é legal! Por exemplo, use agora uma função decrescente tal que e .