Lernmodul "Wendepunkte"
- Autor:
- Lukas Eber, iKame, Kurt Söser, sthummel
Wir erinnern uns zunächst an den Zusammenhang zwischen der Tangentensteigung der an einer Funktion f anliegenden Tangente t und der Ableitung f'(x).
Im linken Koordinatensystem wird an die Funktion f(x) die Tangente im Punkt A gelegt und deren Steigung k angezeigt. Diese wird im rechten Koordinatenystem am x-Wert des Punktes A als Funktionswert eingetragen und somit entsteht Punkt für Punkt der Graph der Ableitung f'(x).
Bewege den Punkt A, um den Graph von f'(x) entstehen zu lassen.
Wie verhält sich die Ableitung f'(x) bei einem lokalen Extremum (Hoch- bzw. Tiefpunkt) von f(x)?
Diese Eigenschaft nutzen wir für ein Verfahren zum Finden von lokalen Extrema einer Funktion, von der wir erstmal nur die Funktionsgleichung kennen:
Die notwendige Bedingung für ein lokales Extremum ist . Ist diese erfüllt, kann es sich aber außer einem lokalen Maximum / Minimum auch noch um einen Sattelpunkt handeln.
Ändere die Funktionsgleichung in der obigen Anwendung zu und schaue dir an, wie der Graph von f'(x) am Sattelpunkt aussieht.
Um zu untersuchen, ob an einer Nullstelle von ein Maximum, Minimum oder ein Sattelpunkt liegt, brauchen wir eine hinreichende Bedingung, wobei es zwei Möglichkeiten gibt:
1) Wir untersuchen, ob die erste Ableitung an der Stelle einen Vorzeichenwechsel (VZW) macht (wie es bei der Funktion bei beiden Nullstellen von der Fall ist), oder nicht (wie es bei der Fall ist). Das prüfen wir, indem wir x-Werte links und rechts von in einsetzen und das Vorzeichen betrachten.
Macht an der Stelle einen VZW von - nach +, hat dort ein lokales Minimum.
Macht an der Stelle einen VZW von + nach -, hat dort ein lokales Maximum.
Wechselt an der Stelle nicht das Vorzeichen, hat dort einen Sattelpunkt.
2) Wir untersuchen die zweite Ableitung .
Ist , hat dort ein lokales Minimum.
Ist , hat dort ein lokales Maximum.
Ist , heißt das NICHT, dass dort ein Sattelpunkt liegt - in diesem Fall können wir keine Aussage treffen und müssen die andere hinreichende Bedingung verwenden.
Dieses Verfahren ist dir so oder so ähnlich sicher schon bekannt gewesen.
Wir lernen nun eine weitere Eigenschaft von Kurven(abschnitten) kennen: das Krümmungsverhalten. Man unterscheidet zwischen rechts- und linksgekrümmten Kurven(abschnitten).
Um zu entscheiden, ob eine Kurve rechts- oder linksgekrümmt ist, kannst du dir ein Auto vorstellen, das wie in der Anwendung die Kurve von links nach rechts entlangfährt. Wenn das Lenkrad nach links gedreht ist, befindest du dich in einem linksgekrümmten Kurvenabschnitt; ist es nach rechts gedreht, ist es ein rechtsgekrümmter Abschnitt.
Punkte, in denen sich das Krümmungsverhalten ändert, nennt man Wendepunkte. So wie man auch bei Extrempunkten von einer Extremstelle spricht, wenn man sich auf den x-Wert eines Extrempunktes bezieht, spricht man auch von Wendestellen, wenn es einem um den x-Wert eines Wendepunktes geht.
Was gilt für das Krümmungsverhalten der Normalparabel (Graph von )?
Wie viele Wendepunkte hat die Normalparabel?
Nun suchen wir ein Verfahren zum Finden von Wendepunkten, wenn wir nur die Funktionsgleichung von f(x) zur Verfügung haben - so wie wir es für lokale Extrema schon kennen.
Dazu brauchen wir einen Zusammenhang zwischen dem Krümmungsverhalten einer Funktion und ihrer Funktionsgleichung oder einer ihrer Ableitungen.
Wo liegt im Graphen der Funktion der Wendepunkt? (Funktion in der unten stehenden Anwendung anpassen und dann vom Graphen ablesen)
Bewege wieder den Punkt A, um den Graphen von f'(x) entstehen zu lassen.
Wie verhält sich an der Wendestelle ?
Überlege dir - wie verhält sich dann notwendigerweise die zweite Ableitung f''(x) an der Wendestelle? (Tipp: Die erste Ableitung von f'(x) ist die zweite Ableitung von f(x). Trage also in der unteren Anwendung als Funktionsgleichung ein. Dann kannst du durch Verschieben von A den Graphen von f''(x) entstehen lassen.)
Wir kennen nun also schon die notwendige Bedingung für eine Wendestelle: Es muss dort f''(x)=0 gelten.
Vergleiche den Graphen von f(x) mit dem von f''(x). Verstehst du, wie das Krümmungsverhalten mit der ersten und zweiten Ableitung zusammenhängt?
Scrolle noch einmal nach oben zur Anwendung mit dem Lenkrad und lass dir mit einem Klick auf die entsprechenden Kästchen die Graphen der 1. und 2. Ableitung anzeigen. Vielleicht musst du etwas rauszoomen. Beobachte nochmal den Zusammenhang zwischen Krümmungsverhalten und den Ableitungen.
Ein Wendepunkt ist ein Punkt, in dem sich das Krümmungsverhalten ändert. Das bedeutet also, dass sich dort das Vorzeichen von ändern muss. Das ist die hinreichende Bedingung!
Und so ergibt sich ganz analog zum Bestimmen von lokalen Extrema das folgende Verfahren zum Finden von Wendepunkten:
Notwendige Bedingung:
Wir setzen gleich 0 und lösen nach x auf. Die Lösungen sind Kandidaten für Wendestellen. Hat die Gleichung keine Lösung, hat f keine Wendepunkte.
Hinreichende Bedingung:
1) Wir untersuchen, ob die zweite Ableitung an der Stelle einen Vorzeichenwechsel (VZW) macht. Das prüfen wir, indem wir x-Werte links und rechts von in einsetzen und das Vorzeichen betrachten.
Macht an der Stelle einen VZW von - nach +, hat dort einen Wendepunkt mit Wechsel von Rechtskrümmung zu Linkskrümmung.
Macht an der Stelle einen VZW von + nach -, hat dort einen Wendepunkt mit Wechsel von Linkskrümmung zu Rechtskrümmung.
Wechselt an der Stelle nicht das Vorzeichen, hat dort keinen Wendepunkt.
2) Alternativ können wir auch hier wieder nächste, also dritte Ableitung untersuchen:
Ist , hat dort einen Wendepunkt mit Wechsel von Rechtskrümmung zu Linkskrümmung.
Ist , hat dort einen Wendepunkt mit Wechsel von Linkskrümmung zu Rechtskrümmung.
Ist , heißt das NICHT, dass dort kein Wendepunkt liegt - in diesem Fall können wir keine Aussage treffen und müssen die andere hinreichende Bedingung verwenden.
Bei Wendepunkten interessieren wir uns meistens nicht dafür, in welche Richtung die Krümmung wechselt - dann vereinfacht sich die hinreichende Bedingung entsprechend dazu, ob es einen VZW gibt (egal welche Richtung) bzw. ob die dritte Ableitung ungleich 0 ist.
Zusatzaufgabe
Bewege den Punkt B entlang des Graphen und beobachte die Tangentensteigung!
Wo vermutest du den Wendepunkt? Kontrolliere durch Anklicken des Kästchens links.
Wie verhält sich die Tangentensteigung in der Nähe des Wendepunktes?
Was gilt für die 1. Ableitung an der Wendestelle?
Was gilt für die 2. Ableitung an der Wendestelle?
Kontrolliere durch Anklicken der Kästchen links.
Welche konkreten Informationen liefert der Wendepunkt im Beispiel "Besucherzahlen der didacta"?