A gömbbe zárt elektron sebességének megadása

Autor:Éder Ottó, Melinda Banko, Istvan Muskovits, Bracsok Norbert

Feladatod megfigyelni, hogyan változik a gömbbe zárt elektron lehetséges maximális sebessége, ha változtatjuk a gömb sugarát.

1. feladat

Figyeld meg a bejelentkező képernyőt! Mit látsz?

2. feladat

Indítsd el az animációt! Mit tapasztalsz?

3. feladat

Mit tapasztalsz, ha animáció közben a csúszka segítségével változtatod a sugarat? Milyen fizikai mennyiség változik ebben az esetben?

4. feladat

a) Mit modellez az animáció? b) Mit jelent ez? c) Milyen tétel következménye ez a jelenség?

5. feladat

a) Mekkora az elektronok lehetséges maximális sebességének értéke a beállítható legkisebb sugárnál (10^-3 mm-nél)? Mekkora ez az érték km/h-ban? b) Nézz utána, milyen nagyságrendű az atommagok átmérője! Mekkora lenne az atommagba zárt elektron várható sebessége és mozgási energiája? c) Az előzőek alapján gondold végig! Miért nem tartózkodhat az elektron az atommagban?

Közvetlen előismeret

A Heisenberg-féle határozatlansági reláció értelmében egy mikrorészecske helyét és lendületét nem ismerhetjük egyszerre tetszőleges pontossággal. Egyenlettel felírva (és maradva a kevésbé pontos, egyenlőséget adó összefüggésnél): Δy·Δp_y=h (Δy a helybizonytalanság, Δp_yaz y irányú lendületbizonytalanság, h a Planck-állandó) A Heisenberg-féle határozatlansági reláció úgy is értelmezhető, hogy egy részecske lendületét soha nem ismerhetjük teljes pontossággal, sőt, minél inkább ismerjük a helyet (kicsi a helybizonytalanság), annál kevésbé ismerjük a lendületet. Amennyiben tehát egy részecske helybizonytalansága ismert, meg tudjuk adni a lendületbizonytalanságát is. Egy R sugarú gömb esetén, ha a gömb középpontjába helyezünk egy Descartes-féle koordinátarendszert, a részecske helykoordinátáinak bizonytalansága: Δx = Δy = Δz = 2R. Ekkor az egyes lendületkomponensek bizonytalansága:

, a teljes lendületbizonytalanság pedig:

vagyis

, ahonnan az elektron sebességbizonytalansága:

, ahol m_el= 9,109 ∙ 10^-31 kg, h = 6,626 ∙ 10^-34 Js.

Válaszok

4. a) A „dobozba zárt” részecske jelenségét. b) A dobozba zártság azt jelenti, hogy a részecske tartózkodási helyét szűk helyre korlátozzuk (pl. erre alkalmas erőtérrel). Ha pl. egy elektron az atommag körül adott átmérőjű pályán tartózkodik, akkor úgy tekinthetjük, hogy be van zárva egy ugyanilyen átmérőjű gömbbe. (Az atomban kötött elektront a mag vonzása nem engedi, hogy eltávolodjék, az tartja a „dobozban”, vagyis az atomon belül.) c) A Heisenberg-féle határozatlansági-tétel következménye. Minél kisebb az elektron helybizonytalansága, annál nagyobb a lendületbizonytalansága, és így sebességének az ingadozása is. Azaz ha az elektron szűkebb átmérőjű gömbbe van bezárva, lehetséges maximális sebessége annak megfelelően nagyobb lesz (élénkebben mozoghat). 5. a) 1260 m/s = 4536 km/h. b) Az atommag átmérőjének nagyságrendje 10^-12 mm. A sebessége 6,26∙10¹¹m/s, a mozgási energiája 1,78∙10^-7 J lenne. c) Ha az elektron a magban tartózkodna, nagyon kicsi lenne a helybizonytalansága. Így a lendületbizonytalansága és a lehetséges maximális mozgási energiája óriási lenne. Több nagyságrenddel nagyobb, mint az atommagok átlagos kötési energiája. Ezért az elektron biztosan „kimozogna” az atommagból.