Optimización (Máximos y Mínimos) en Funciones Cuadráticas – Problemas Verbales de Ballet
1. Maximización del Espacio Escénico: El director de escena quiere delimitar una zona rectangular de ensayo junto a un espejo. Tienen 40 metros de cinta de seguridad para usar en tres de los lados (el cuarto lado es el espejo y no necesita cinta). ¿Cuáles deben ser las dimensiones (largo y ancho) del área para maximizar el espacio de ensayo?
2. El Costo Mínimo del Vestuario: El costo C (en cientos de dólares) para confeccionar x tutús de un modelo especial está dado por la función C(x)=x^2−12x+50. ¿Cuántos tutús x se deben confeccionar para minimizar el costo total, y cuál es ese costo mínimo?
3. La Trayectoria del Salto: La altura h (en metros) de un bailarín durante un salto (saut de basque) se modela con la función h(t)=−5t^2+8t+0.5, donde t es el tiempo en segundos. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el bailarín durante el salto?
4. Maximización de Asistencia: La asistencia A (en cientos de personas) a una función de ballet se relaciona con el precio p (en dólares) del boleto mediante la función A(p)=−2p^2+100p−500. ¿Qué precio p maximizará la asistencia a la función?
5. La Eficiencia de la Calefacción: La temperatura T (en grados Celsius) de la sala de ensayo durante el invierno se modela en función del tiempo t (en horas) con la función T(t)=−0.1t^2+3t+15. ¿A qué hora t se alcanzará la temperatura máxima de la sala?
6. La Tensión Mínima del Elástico: Un sastre ajusta un elástico de una zapatilla de punta. La tensión T (en Newtons) se relaciona con la longitud de corte L (en centímetros) mediante la función T(L)=L^2 −18L+85. ¿Qué longitud L del elástico resulta en la tensión mínima?
7. Optimización del Diseño del Escenario: Se debe diseñar un cartel rectangular de 16 metros cuadrados en el fondo del escenario. Para minimizar la cantidad de material usado para el marco, ¿cuáles deben ser las dimensiones (largo y ancho) del cartel?
8. Maximización del Ingreso por Venta de Programas: El ingreso I (en dólares) por la venta de x programas de mano en el intermedio es I(x)=10x−0.05x^2. ¿Cuántos programas x deben venderse para maximizar el ingreso total?
9. La Velocidad Mínima del Fouetté: La velocidad angular V (en radianes/segundo) de un bailarín al realizar un fouetté se puede modelar, cerca de su pico, por la función V(t)=0.5t^2−4t+10, donde t es el tiempo en segundos. ¿En qué tiempo t se alcanza la velocidad angular mínima?
10. La Luz Máxima para un Solo: La intensidad de la luz L (en candelas) en el centro del escenario para un solo se modela como una función de la distancia d (en metros) desde el foco principal. L(d)=−d^2+6d+5. ¿A qué distancia d (entre 0 y 6 metros) se debe colocar el bailarín para experimentar la intensidad de luz máxima?