3.4 I coefficienti dell'iperbole
con a,b numeri reali non nulli
Grazie a questo risultato possiamo studiare come varia la forma di un'iperbole al variare dei suoi coefficienti algebrici a,b. Creiamo dunque un'iperbole seguendo queste semplici istruzioni:- Utilizzando lo strumento Slider
definiamo il numero a, con valori da 0 a 5 e incremento 0.1 . - Settiamo inizialmente il valore a=2.
- Ripetiamo la costruzione del punto 1 per definire il numero b, con valori da 0 a 5 e incremento 0.1 .
- Settiamo inizialmente il valore b=3.
- Adesso nella parte Algebra di GeoGebra (il pannello a sinistra) andiamo in una casella libera e scriviamo l'espressione algebrica della parabola inserendo "x^2/a^2 - y^2/b^2=1" (senza le virgolette "").
Modificando il parametro a come cambia la curva?
Modificando il parametro b come cambia la curva?
Il parametro è detto semidistanza focale, ed è uguale alla metà della distanza tra i due fuochi. Sapendo che i fuochi sono posizionati sull'asse delle ascisse, e che il loro punto medio è l'origine degli assi cartesiani, quali sono dunque le loro coordinate?
I punti in cui l'iperbole tocca gli assi cartesiani sono detti vertici dell'iperbole. In particolare, i vertici sull'asse x sono detti vertici reali e i vertici sull'asse y (ottenuti dall'iperbole con fuochi sulle ordinate) sono detti vertici non reali. Osservando come cambiano i punti di incontro dell'iperbole con gli assi al variare dei parametri a e b, quali sono le coordinate dei vertici rispetto ad essi?
Quanto vale la distanza tra i vertici reali dell'iperbole? E quella tra i vertici non reali?
Il rapporto tra la distanza dei due fuochi e la distanza dei due vertici reali è detta eccentricità dell'iperbole e viene indicata con la lettera "e". Ricordando quanto valgono le distanze, ricava la formula per calcolare e a partire dai parametri a e b.
Conoscendo l'espressione di e, spiega perché non è possibile ottenere valori di e<1.
Prova a impostare i valori dei parametri a e b in modo da ottenere e=1,5 ; e=2; e=3; e=10. Come cambia il grafico dell'iperbole al variare della sua eccentricità?
Nel foglio di lavoro che vedete sopra sono presenti anche due rette (tratteggiate in rosso), ottenute dalle equazioni e . Queste due rette sono dette asintoti dell'iperbole. Dopo averle inserite nel tuo file GeoGebra, rispondi a questa domanda: Che legame c'è tra l'iperbole e i suoi asintoti? (Suggerimento: se non riesci a capirlo, prova ad allargare la vista e controllare cosa succede per valori di x e y molto grandi...)