Cuadriláteros cíclicos
Cuadriláteros cíclicos
Un polígono está inscrito en un círculo si sus vértices se encuentran en el círculo. A los cuadriláteros que están inscritos se les llama cuadriláteros cíclicos.
En la figura previa, podemos ver ejemplos de cuadriláteros cíclicos.
Congruencia de los ángulos en un cuadrilátero cíclico.
Si tenemos un cuadrilátero cíclico, entonces los ángulos que inscriben los mismos arcos serán congruentes.
Veamos la siguiente figura para mostrar un ejemplo.
Teorema de los ángulos del cuadrilátero cíclicos
Un cuadrilátero es cíclico si y solo si sus ángulos opuestos son suplementarios.
Demostración: Supongamos que tenemos un cuadrilátero cíclico ABCD
Entonces por la relación entre ángulos inscritos y centrales que abren el mismo arco, se tiene que y . Sumando estas ecuaciones se obtiene:
Pero . Por lo tanto, .
Recíprocamente, supongamos que el cuadrilátero ABCD cumple que . Trazamos el círculo que pasa por los puntos A, B, y C. Sea D' el punto de corte del lado AD con el círculo.
Como el cuadrilátero ABCD' es cíclico, por lo que acabamos de demostrar se cumple que . Por lo tanto, . Pero esto implica que DD'=0. Luego D=D' y el cuadrilátero ABCD es cíclico.
Teorema adicional
Si ABCD es un cuadrilátero, tal que sus diagonales se intersecan en P, entonces ABCD es cíclico si y solo si .
Demostración: Como y , entonces el ΔPAB es semejante al ΔPDC por LAL. Entonces y esto implica que el cuadrilátero ABCD es cíclico.