OT3.2 - Funktioiden tutkimista
Tiheysfunktion kulku
Sovelmassa on -jakauman tiheysfunktio, jossa esiintyvä luku n on positiivinen kokonaisluku ja sille on luotu liukusäädin välille (1, 5). Liukua säätämällä CAS-laskimen Algebra-näkymän komennoista saadaan jonkin verran tietoa funktion kulusta muutamilla eri parametreillä.
Komento, jolla pyritään ratkaisemaan epäyhtälö f(x)<0, ei anna ratkaisua millään parametrin n arvolla. Tästä voidaan päätellä, ettei funktio saa millään muuttujan arvolla negatiivisia arvoja ja näin ollen f toteuttaa tiheysfunktion perusominaisuuden, jonka mukaan kaikilla . Lisäksi komento, joka laskee integraalin välillä antaa ratkaisuksi luvun 1 kaikilla parametrin n arvoilla, mikä on myös eräs tiheysfunktion perusominaisuuksista.
Parametrin arvolla n=1 toispuoleinen raja-arvo lähestyy ääretöntä lähestyttäessä nollaa oikealta puolelta. Kun taas muuttujan arvot lähestyvät ääretöntä, funktion arvot lähestyvät nollaa ja raja-arvo äärettömässä on 0. Parametrin arvolla n=1 funktiolla f ei ole ääriarvoja äsken mainittujen syiden vuoksi ääriarvoja ja se saa arvot välillä .
Parametrin arvolla n=2 toispuoleinen raja-arvo lähestyy arvoa 0,5 lähestyttäessä nollaa oikealta puolelta. Muuttujan arvojen lähestyessä ääretöntä funktio käyttäytyy samantapaisesti, kuin parametrilla n=1, eli raja-arvo äärettömyydessä on 0. Isoin ero funktion kulussa verrattaessa kahta ensimmäistä funktiota on se, että parametrilla n=2 funktio saa arvoja huomattavasti pienemmällä skaalalla, kuin parametrilla n=1. Parametrilla n=2 funktion arvot ovat välillä . Aidosti laskeva funktio ei kuitenkaan määrittelyvälillään saavuta välin päätepisteitä, joten sillä ei ole ääriarvoja.
Parametrin arvolla n=3 raja-arvot lähestyvät nollaa, tutkittiin sitten muuttujan arvoja nollan läheisyydessä tai äärettömyydessä. Ääriarvo löytyy derivaatan nollakohdasta. Sovelmassa CAS-laskimen komennosta Ääriarvopisteet saadaan ääriarvo 0,24. Graafinäkymästä on helppo havaita ääriarvopisteen olevan globaali maksimi, mutta sama voidaan päätellä, kun tiedetään funktion arvojen lähestyvän muualla nollaa.
Parametrin arvolla n=4 saatava funktio muistuttaa paljolti viimeisimpänä kuvailtua parametrin arvolla n=3 saatavaa funktioita. Raja-arvot lähestyvät nollaa muuttujan arvojen lähestyessä nollaa tai ääretöntä. Globaalin maksimin arvo on tämän funktion tapauksessa pienempi, 0,18. Myös parametrilla n=5 funktion kulku on hyvin samankaltainen kun kahdella edellisellä, mutta maksimin arvo on jälleen pienempi, sillä ääriarvoksi saadaan 0,15.
Tutkimalla funktioita viidellä eri parametrin arvolla voidaan päätellä funktion saavan positiivisia arvoja sitä pienemmältä väliltä, mitä suurempi arvo parametrille n annetaan. Arvelen funktion muodon säilyvän suunnilleen samankaltaisena, kun parametri saa arvoja n=3, 4, ... ja suuremmilla parametrin arvoilla käyrä ikäänkuin loivenee.