Criba parabólica

Autor:
Rafael Losada Liste
Tema(s):
Operaciones aritméticas, División, MCM y MCD, Multiplicación, Parábola
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Aritmética y cálculo mental. En esta actividad puedes seguir los pasos de una sorprendente construcción que permite realizar una criba de los números primos similar a la de Eratóstenes.
  1. Representamos la parábola correspondiente a la función cuadrática y = a x2. Puedes variar el valor de "a" usando el deslizador azul.
  2. Rota la parábola 90º usando el deslizador verde. La gráfica obtenida corresponde a dos funciones irracionales opuestas.
  3. Marcamos los puntos de esta gráfica correspondientes a abcisas que sean cuadrados perfectos mayores que 1: {4, 9, 16, 25, ...} y los unimos mediante rectas.
Ya está. Como por arte de magia, esas rectas cortarán al eje X solo en números naturales compuestos, dejando los primos al descubierto. Lee el texto debajo de la construcción si quieres saber por qué.
Si llamamos r a la raíz de a, los puntos marcados son de la forma (n2, n/r) y (m2, -m/r), con n y m naturales mayores que 1. La ecuación de la recta que une ese par de puntos es y = (x - n m)/r(n-m) (en el caso de que fuera n=m, la recta sería la vertical: x = n m). En cualquier caso, esa recta corta al eje X cuando y=0, es decir, cuando x = n m (con n y m mayores que 1). Por lo tanto, todos los productos n m corresponden a los puntos de corte de las rectas con el eje X. Como los números primos no se pueden descomponer en uno de esos productos, quedan al descubierto.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.

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