Polígonos regulares anidados

Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Contando. Tenemos dos polígonos regulares, centrados en circunferencias concéntricas. Cada lado del polígono mayor es el doble que el del polígono menor. Al unir todos los vértices del mayor con todos los vértices del menor obtenemos un bonito diseño.  Ahora bien, ¿cuántos segmentos necesitamos dibujar? Esta pregunta es sencilla de responder cuando los polígonos tienen pocos lados, pero se vuelve prácticamente imposible contarlos todos uno a uno cuando aumentamos el número de lados. En vez de contarlos, podemos averiguar ese número razonando sobre "cómo" construimos todos los segmentos.
  1. ¿Cuántos segmentos necesitamos para unir todos los vértices de dos triángulos? ¿Cuántos segmentos salen de un mismo vértice?
  2. ¿Cuántos segmentos necesitamos para unir todos los vértices de dos cuadrados? ¿Cuántos segmentos salen de un mismo vértice?
  3. ¿Cuántos segmentos necesitamos para unir todos los vértices de dos pentágonos? ¿Cuántos segmentos salen de un mismo vértice?
  4. ¿Cuántos segmentos salen de un mismo vértice al unir todos los vértices de dos decágonos? Compruébalo con la aplicación.
  5.  ¿Cuántos segmentos necesitamos entonces, en total, para unir todos los vértices de dos decágonos?
  6. Cuántos segmentos salen de un mismo vértice al unir todos los vértices de dos polígonos de 30 lados?
  7. ¿Cuántos segmentos saldrán de un mismo vértice al unir todos los vértices de dos polígonos de N lados?
  8. ¿Cuántos segmentos necesitamos entonces, en total, para unir todos los vértices de dos polígonos de N lados?
Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. Esta actividad está presente en el Proyecto Gauss