Függvény folytonossága 2. (véges ugrás esetén)
Egy függvény pontbeli folytonosságát a Cauchy-féle definícióval írtuk le:
Az f függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy pontjában, ha tetszőleges -hoz létezik olyan melyre, ha , akkor .
Egy függvényt folytonosnak nevezünk, ha értelmezési tartományának minden pontjában folytonos.
Az interaktív alkalmazásban az adott függvény folytonosságát vizsgáljuk több különböző pontban.
1. feladat
Figyeld meg a függvény hozzárendelési szabályát, grafikonját!
2. feladat
Állítsd be értékét 0,5-re!
Határozd meg azon környezetét, melyben a függvényértékek legfeljebb -nal térnek el -tól!
Állítsd be értékét a panelen található csúszka segítségével 0,3; 0,1; 0,05 értékekre!
Olvasd le a hozzájuk tartozó értékeket!
3. feladat
Csökkentsd tovább értékét!
Igaz-e, hogy tetszőlegesen kicsi -hoz találunk olyan számot, melyre ha x az –nak sugarú környezetében van, akkor az -nak sugarú környezetébe esik?
Kísérletezz!
4. feladat
Mit mondhatunk az f függvényről az pontban?
5. feladat
Állítsd be most értékét 1-re! Olvasd le a függvényértéket!
6. feladat
Legyen !
Határozd meg -nek azon környezetét, melyben a függvényértékek legfeljebb 0,8-del térnek el az 1,5-től!
7. feladat
Állítsd be értékét 0,5-re vagy annál kisebb értékre! Mit tapasztalsz?
Mit mondhatunk az függvényről az helyen?
8. feladat
Mit mondhatunk az egész függvényről?
9. feladat
Válassz újabb értéket! Mit tapasztalsz?
Kitekintés
A függvény folytonosságának megfogalmazására más definíciók is léteznek.
Heine-féle definíció:
Az függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy pontjában, ha bármely esetén