εμβαδόν κυκλικού δίσκου
- Author:
- e-arsakeio
K4. προσέγγιση εμβαδού κυκλικού δίσκου με κυκλικούς τομείς
Στο δόμημα περιέχεται ένας κύκλος ακτίνας r και τρεις μεταβολείς, με τις εξής λειτουργίες:
- Πλήθος τομέων: μεταβάλλει το πλήθος των τομέων που χωρίζουμε τον κύκλο
- 1ος μετασχηματισμός: διασπά τους τομείς
- 2ος μετασχηματισμός: ενώνει τους τομείς σε ένα σχήμα.
Malin Christersson - προσαρμογή & τροποποίηση : e-arsakeio
Πειραματισμός - Διαπιστώσεις
1. Αυξήστε το πλήθος τομέων σε 20. Στη συνέχεια ολοκληρώστε τον 1ο μετασχηματισμό.
- Με τί ισούται η διάσταση y;
- Πώς σχετίζεται η διάσταση x με το μήκος του κύκλου;
- Τί σχήμα φαίνεται να δημιουργείται;
- Αυξήστε διαδοχικά το πλήθος των τομέων μέχρι το τέλος. Τί σχήμα φαίνεται τώρα να δημιουργείται;
Κ5. Προσέγγιση εμβαδού κυκλικού δίσκου με κανονικά πολύγωνα
Στο δόμημα περιέχονται:
- Ένας κύκλος (Ο,R) και ένα κανονικό πολύγωνο εγγεγραμμένο στον κύκλο.
- Οι δρομείς ν και R, από τους οποίους μεταβάλλουμε το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου και την ακτίνα του κύκλου αντίστοιχα.
- Τέλος, οι μετρήσεις για εμβαδά του κύκλου και του πολυγώνου, καθώς και η μεταξύ τους διαφορά.
Πειραματισμός - Διαπιστώσεις
1o στάδιο
- Μετακινήστε το δρομέα ν για να αυξήσετε τον αριθμό των πλευρών του κανονικού πολυγώνου. Παρατηρήστε πώς μεταβάλλονται: το εμβαδόν του κύκλου, το εμβαδόν του κανονικού πολυγώνου και η διαφορά τους.
- Εξετάστε τί συμβαίνει με τη διαφορά εμβαδών όταν η τιμή του ν συνεχίζει να αυξάνεται.
- Υπάρχει τιμή του ν, ώστε η διαφορά των δύο εμβαδών να είναι μηδέν;
- Διατυπώστε τη γνώμη σας για το ερώτημα: "Μπορούμε να βρίσκουμε κάθε φορά κάποια τιμή του ν, από την οποία και πάνω, η διαφορά εμβαδών να είναι όσο μικρή θέλουμε".
- Τί παρατηρείτε;
- Αυξήστε το ν διαδοχικά μέχρι το 1000. Τί φαίνεται να ισχύει τώρα;
K6. κάνοντας "peeling" στον κύκλο!
Στο δόμημα περιέχονται:
- ένας κύκλος σταθερής ακτίνας R, με χρωματισμένο τον κυκλικό δίσκο.
- κουμπιά για την εκκίνηση, το σταμάτημα και την επαναφορά της εφαρμογής.
- δύο διακόπτες για την επαλήθευση ερωτημάτων.
Τim Brezinski - προσαρμογή & τροποποίηση: e-arsakeio
Ερωτήματα
1o στάδιο
Εμβαδόν τριγώνου = ?
2ο στάδιο
Βάση τριγώνου?
3o στάδιο
ύψος τριγώνου = ?
4ο στάδιο
Ολοκλήρωση τύπου ?
ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ
Περιγραφή του προβλήματος
Τετραγωνίζω τον κύκλο σημαίνει ότι κατασκευάζω, με γεωμετρική ή αλγεβρική μέθοδο, ένα τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του κύκλου.Η δυσκολία του προβλήματος συνίσταται σε δύο περιορισμούς που έθεσαν σε αυτό οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί. Πιο συγκεκριμένα, για να θεωρηθεί αποδεκτή μία λύση του προβλήματος, σε αυτήν θα πρέπει:να χρησιμοποιηθεί μόνο κανόνας και διαβήτης, προκειμένου η απόδειξη να ανάγεται πλήρως στα θεωρήματα του Ευκλείδη, και να μην πραγματοποιείται μετά από άπειρο αριθμό βημάτων.
Κ7. Δραστηριότητα
Ερμηνεία του προβλήματος μιας τέτοιας κατασκευής
Αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου επιλύεται εύκολα αν άρουμε οποιονδήποτε από αυτούς τους δύο προαναφερόμενους περιορισμούς.
Η επίλυση του προβλήματος συνδέεται άμεσα με την υπερβατικότητα του αριθμού π: Αν κάποιος έχει καταφέρει να τετραγωνίσει τον κύκλο, σημαίνει ότι με κάποιο τρόπο έχει υπολογίσει μία συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή για το π. Κάτι τέτοιο όμως δεν είναι εφικτό γιατί ο αριθμός π είναι υπερβατικός (δηλ. δεν μπορεί να είναι ρίζα κανενός πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές), οπότε δεν έχει συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή. Πράγματι, το ενδιαφέρον για την επίλυση του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου εξανεμίζεται το 1882, όταν ο Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν (Ferdinand von Lindemann) απέδειξε ότι το π είναι υπερβατικός αριθμός.