Kvadraattinen epäyhtälö
- Author:
- P Porras
Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on parabeli. Kuten aiemmin todettiin, niin parabeli on ylöspäin aukeava, jos a > 0, ja alaspäin aukeava, jos a < 0. Epäyhtälön sanotaan olevan normaalimuodossa, jos yhtälön oikealla puolella on ainoastaan nolla. Jos epäyhtälö voidaan muokata normaalimuotoon, niin toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisu nähdään kuvaajasta.
Toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisemisen vaiheet:
1. Kirjoita epäyhtälö normaalimuotoon.
2. Ratkaise vastaava yhtälö.
3. Piirrä vastaava parabeli.
4. Merkitse nollakohdat kuvaajaan.
5. Kirjoita ratkaisu kuvaajan perusteella.
6. TARKISTA vastaus sijoittamalla alkuperäiseen epäyhtälöön!
Esimerkki 4.
Esimerkki.
Vastaavan yhtälön nollakohdat ovat x = 0 ja x = -3.
Kuvaajan perusteella ratkaisu on
Esimerkki 5
Ratkaise
1.
2-3.
4.
5. -2 < x < 1
6. Kun alkuperäiseen epäyhtälöön sijoitetaan x = 0, vasemman puolen arvo (2) on vähemmän kuin oikean puolen arvo (4). Epäyhtälö pitää siis paikkansa.
Muuttujan arvolla x = 2, vasemman puolen arvoksi tulee 18 ja oikean puolen arvoksi 14. Epäyhtälö ei siis pidä enää paikkansa. Löytämämme ratkaisu vaikuttaisi oikealta.
Esimerkki 6.
Ratkaise
Funktiolla on yksi nollakohta Kyseessä on alaspäin aukeava paraabeli, jonka huippupiste on (2,0) eli funktion arvo on suurimmillaan 0. Funktion muut arvot ovat negatiivisia eli x-akselin alapuolella. Koska alkuperäisessä tehtävässä kysytään, milloin funktion arvot ovat aidosti negatiiviisia eli niin nollakohtaa ei voida hyväksyä. Tehtävän ratkaisu on siis
Esimerkki 7.
Milloin funktio on määritelty?
Ratkaisu 7. Funktion määrittelyjoukko tarkoittaa niitä muuttujan arvoja, joita voidaan sijoittaa funktion lausekkeeseen. Tässä tapauksessa kyseiset muuttujan arvot on oltava sellaisia, että neliöjuuren sisäosan arvo on vähintään nolla. Alkuperäinen tehtävä voidaankin muuttaa muotoon
Funktio g on ylöspäin aukeava paraabeli (a = 1). Tällöin x-akselin leikkauspisteiden välillä funktion arvot ovat negatiivisia ja ulkopuolella funktion arvot ovat positiivisia. Ratkaistaan siis funktion nollakohdat:
Vastaus. Funktio on määritelty, kun