Grundkompetenz AN 3.2

Autor:
bfw89
In der Grafik-Ansicht siehst du die beiden grafischen Darstellungen der Funktion und ihrer Ableitungsfunktion , die durch die Funktionsgleichungen und definiert sind. Die Funktionsgleichung von ist von der Form ; die Werte der Parameter , , und in der Funktionsgleichung von können mit Hilfe der gegebenen Schieberegler , , und geändert werden. Ferner sind ein Punkt des Graphen der Funktion und ein Punkt des Graphen der Ableitungsfunktion gegeben. Der Punkt lässt sich entlang der grafischen Darstellung der Funktion mit der Maus verschieben. Wird dieser Punkt verschoben, so verschiebt sich auch der Punkt auf der grafischen Darstellung der Ableitungsfunktion .
  1. Verschiebe den Punkt in jeden Hoch- bzw. Tiefpunkt von und achte dabei auf die jeweilige Position des Punktes der Ableitungsfunktion ! Was kannst du jeweils über die Position des Punktes der Ableitungsfunktion aussagen bzw. vermuten? Welcher Zusammenhang kann daher zwischen einem Hoch- bzw. Tiefpunkt der Funktion und der Ableitung in diesen Stellen vermutet werden? Notiere deine Vermutungen in deinem Heft!
  2. Was kann über das Monotonieverhalten der Funktion vermutet werden, wenn die Ableitungsfunktion oberhalb bzw. unterhalb der -Achse verläuft? Verschiebe dazu den Punkt so, dass nur oberhalb bzw. unterhalb der -Achse bewegt wird und achte auf den jeweiligen Bereich der Funktion (und dessen Monotonie), auf dem sich bewegt! Notiere deine Vermutungen in deinem Heft! Hinweis: Du kannst die Spur des Punktes durch die Auswahl der Option „Spur ein“ im Kontextmenü des Punktes einschalten, um einen Bereich der Funktion hervorzuheben, auf dem der Punkt bewegt wird. Mit der Tastenkombination <Strg>+<F> kannst du die Spur wieder löschen!
  3. Verändere die Werte der Parameter , , und in der Funktionsgleichung von mit Hilfe der Schieberegler und wiederhole die Aufgaben 1 und 2 jeweils für die folgenden Funktionsgleichungen: a. b. c. Was fällt dir bzgl. der Antworten zu den Aufgaben 1 und 2 bei allen Funktionsgleichungen auf? Bestätigen sich deine Vermutungen aus den Aufgaben 1 und 2 bei all diesen betrachteten Funktionsgleichungen? Notiere deine Antworten in deinem Heft! Aktiviere nun das Kontrollkästchen „Tangente anzeigen“! Im Punkt wird die Tangente an die Funktion mit dem Steigungsdreieck und der Tangentensteigung angezeigt. Der Wert der -Koordinate des Punktes entspricht bekanntlich dem Wert der Tangentensteigung im Punkt der Funktion .
  4. Versuche deine Beobachtungen bzw. Vermutungen aus den Aufgaben 1 und 2 zu begründen! Argumentiere dabei über den Wert der Tangentensteigung in Hoch- bzw. Tiefpunkten der Funktion (Aufgabe 1) bzw. über das Vorzeichen der Tangentensteigung (Aufgabe 2)!