Aufgabe: Konvergenz
Aufgabe & Fragen
Mach dich mit der Applikation vertraut und beantworte die Fragen und Aufgaben unten
Credits: Autor: https://www.geogebra.org/u/wolfgang+faber Wolfgang Faber (CC-by-SA)
Frage 1
i) Gib als Folge die harmonische Folge ein. Stelle die -Umgebung auf 0.5 ein. Benenne, ab welchem Folgenglied die Folge in der -Umgebung liegt.
Frage 2
ii) Gib als Folge die harmonische Folge ein. Stelle die -Umgebung auf 0.06 ein. Benenne, ab welchem Folgenglied die Folge nun in der -Umgebung liegt?
Frage 3
Kann man derart wählen, dass sich alle Folgeglieder außerhalb der -Umgebung befinden? Begründe.
Frage 4
Erläutere die Definition der Konvergenz von Folgen anhand der ursprünglichen Definition und der Veranschaulichung in deinen eigenen Worten.
Aufgabe 1
Untersuche nun folgende Folgen auf Konvergenz bzw. Divergenz. Gib dafür die entsprechenden Folgen in das Applet ein. Wähle geeignete -Umgebungen.
Beantworte zu den jeweiligen Folgen folgende Frage:
Konvergiert oder divergiert die Folge?
Bei Konvergenz: Benenne den Grenzwert der Folge?
Bei Divergenz: Begründe die Divergenz.
Mit Hilfe der Applets bei GeoGebra, kann man schnell erkennen, ob die Folge konvergiert und gegen welchen Grenzwert die jeweilige Folge konvergiert. Als sich Cauchy jedoch mit Folgen und deren Grenzwerten beschäftigt hat, hatte er kein Applet, mit denen er die Grenzwerte bestimmen konnte.
Mathematiker greifen oft auf verschiedene Beweismethoden zurück. Um bei Folgen Konvergenz nachzuweisen, werden häufig --Beweise genutzt. Diese wollen wir uns im nächsten Kapitel genauer ansehen.