２０．積分と長さ
★サイクロイドの長さ
１．線分の長さ
このページは電子ブック「探求 数学Ⅲ」の一部です。
曲線の小部分の長さΔ2ｓ=Δ2ｘ+Δ2ｙとなるから、極限はd2s=d2x+d2yとなるだろう。
これは、ピタゴラスの定理を使っただけ。
ds= これをｘの積分区間[a,b]でSumすればよいね。
もしも、ｘ，ｙともにパラメータｔの関数f(t),g(t)となっているなら、
と微分形式で変形できるね。
また、動点が極座標（r；θ）のｒがθの関数f(θ）となるとき、
もとの点（f(θ）；θ)と(f(θ＋Δθ)；θ+Δθ）の距離は動径の増加Δｒと回転による増加ｒΔθを２辺とする
直角三角形の斜辺と見ることができるから、ds=
（例）カテナリー[catenary]
けんすい線（重力でたれるひも）
カテナリーは、ラテン語の鎖の意味のカテーナ[catena]から来ているらしい。
「y=acoh(x/a)=a/2(ex/a+e-x/a)のx=[-b,b]の区間での長さL」は？
ｙ軸対称なので、積分区間を[0,b]として２倍すればよい。
y'=sinh(x/a)とcos2hx-sin2hx=1から、ds=√(1+(y')2)=√(1+sih2(x/a))=cosh(x/a)だから、
L=2integral(cosh(x/a),0,b)=2(asinh(b/a)-asinh(0/a))=(a(eb/a-e-b/a)-a(e0/a-e-0/a))
=a(eb/a-e-b/a)
（例）サイクロイド[cycloid]
「aが正数で、x=a(t-sint),y=a(1-cost)のt=[0,2π]の区間での長さL」は？
x'=a(1-cost), y'=a sintからds=√(x')2+(y')2)=a√((1-cost)2+sin2t)=a√(2(1-cost))=a√(2・2sin2t/2))
=2a sin(t/2)
L=integral(2a sin(t/2),0,2π)=2a integral(sin(t/2),0,2π)=2a(( -2cos(2π/2)-(-2cos(0/2)))
=2a(2+2)=8a
（例）アステロイド[asteroid]
「aが正数で、x=acos3t,y=asin3tのt=[0,2π]の区間での長さL」は？
x'=3acos2t(-sint), y'=3asin2t costからds=√(x')2+(y')2)=3a sint･cost√(cost2+sin2t)=3a sint･cost
=3/2a sin(2t)
対称性から、t=[0,π/2]で求めて４倍すればよい。
L=4integral(3/2a sin(2t),0,π/2)=6a integral(sin(2t),0,π/2)=6a[ (-1/2cos(2・π/2)-(-1/2cos(2・0)))
=6a(1/2+1/2)=6a
（例）カージオイド[cardioid]
「r=f(θ)=a(1+cosθ) （aは正）のθ=[-π,π]の区間での長さL」は？
f'=-asinθだから、ds=a√(1+cosθ)2+(sin2θ))=2a sin(θ/2) （上のサイクロイドと同じ計算）
ｘ軸対称なので、θ=[0,π]で求めて２倍しよう。
L=2integral(2a sin(t/2),0,π)=4a integral(sin(t/2),0,π)=4a(( -2cos(π/2)-(-2cos(0/2)))
=4a(0+2)=8a