Differentiaalimenetelmä
- Tekijä:
- P Porras
Olkoon avoimella välillä ]a, b[ määritelty funktio f derivoituva. Tällöin derivaatan määritelmän perusteella
.
Jos raja-arvon laskeminen poistetaan, niin derivaatan arvoon tulee virhe ε. Tämän virheen määrä riippuu muuttujan x muutoksen Δx suuruudesta:
Koska lähestyy arvoa 0 raja-arvon perusteella, niin lähestyy myös arvoa 0. Toisin sanoen
.
Yllä oleva kaava on erinomainen apu arvioimaan muuttujan arvojen muutosta tietyllä välillä.
Funktion differentiaalilla tarkoitetaan yhtälön määrittelemää funktiota ja sitä kutsutaan differentiaalikehitelmäksi.
Määritelmän mukaisesti differentiaalilla on kaksi muuttujaa . Tämän takia differentiaalia merkitään joskus
.
Jos differentiaalia tarkastellaan ainoastaan kiinteässä pisteessä x0, niin muuttujia on vain yksi eli .
Esimerkki 1. Tarkastellaan differentiaalin avulla, kuinka paljon funktion arvo muuttuu muuttujan arvojen 16 ja 16.1 välillä.
Ratkaisu 1. Olkoon x0 = 16 ja . Differentiaalikehitelmällä saadaan
Laskettaessa tarkoilla arvoilla saadaan erotukseksi
Arvion ja todellisen erotuksen välinen ero on todella pieni.
Esimerkki 2. Kuulan halkaisijaksi mitattiin työntömitalla 44.3 mm. Mittausvirheen ylärajaksi arvioitiin enimmillään 0.1 mm. Mikä on kuulan tilavuus?
Ratkaisu 2. Kuulan tilavuus saadaan pallon tilavuuden kaavalla eli
Mittausvirheen aiheuttama virhe tilavuudessa on
Kuulan tilavuus on siis .
Esimerkki 3. Metallipallo, jonka säde on 10 cm, päällystetään hopealla. Hopeakerroksen paksuus pitäisi olla 0.02 cm. Kuinka paljon hopeaa suunnilleen tarvitaan päällystämistä varten?
Hopean määrää voidaan arvioida tutkimalla hopeakerroksen vaikutusta pallon tilavuuteen. Pallon tilavuus saadaan kaavalla
,
joten tilavuuden muutos täytyy olla
.
Tilavuuden muutokseksi saadaan sijoittamalla annetut mitat jälkimmäiseen kaavaan:
.
Hopeaa tarvitaan siis noin 25 cm3.