A-a-b
Un cas particulier
La situation où l'on connaît un angle, son côté opposé et un autre côté est un peu plus difficile à gérer, car, contrairement aux quatre cas précédents, il peut y avoir deux solutions.
Ce n'est pas particulier à la sphère, puisque la même chose survient pour des triangles plans (rappelez-vous certains exercices de l'étape 1).
Dans l'appliquette ci-dessous, on peut faire varier la valeur de l'angle et la longueur des deux côtés et d'un triangle plan. On peut faire pivoter le point autour du point et l'on a tracé une droite formant un angle avec le côté . Cette droite est comme un viseur : il y aura au moins une solution si elle frappe le point (c'est-à-dire si arrive sur ). Amusez-vous à développer votre intuition en faisant varier les différents paramètres.
On remarque qu'il y a parfois deux solutions possibles, et que cela survient lorsque
Comme dans le plan, à une chose près...
Regardons maintenant si le même phénomène se produit sur la sphère. L'appliquette ci-dessous est une copie de celle en haut de la page, mais sur la sphère.
On remarque ici aussi qu'il y a parfois deux solutions possibles, et que cela semble survenir lorsque
Cliquez maintenant sur le bouton qui réglera les paramètres , et dans un cas où, même si , il n'y a qu'une solution.
Remarquez qu'une telle situation ne possède même pas de solution dans le plan, puisque si , il faut nécessairement que (on ne pourrait viser et atteindre le point ).
En fait, il y aurait deux solutions dans ce cas si l'on permettait que la longueur des côtés soit supérieure à , ce qui n'est pas permis selon la définition d'un triangle sphérique.
Les triangles plans et sphériques partagent la propriété (il me semble évidente, quoique...) que le côté le plus grand est opposé à l'angle le plus grand, et vice-versa. Le plus simple pour savoir, lorsque , s'il y a une ou deux solutions, revient à calculer (voir plus loin) les deux angles possibles et . Puis, puisque , il faut aussi que . On conserve des angles et celui (ou les deux) qui respecte cette condition.
La résolution du cas A-a-b
Puisque l'on a une paire côté-angle et un côté , la loi des sinus sphérique est toute appropriée :
Si , puisque l'on sait qu'il y a deux angles entre et qui possèdent le même sinus (la même hauteur), les deux solutions sont :
On conserve les solutions qui respectent .
On connaît à ce stade deux angles avec leur côté opposé. On peut écrire les lois des cosinus sphériques pour les côtés et pour les angles afin de caractériser le côté et l'angle :
Mais puisque l'on connaît, , , et , on se retrouve avec deux équations linéaires dont les deux inconnues sont et (eh oui, comme à la deuxième étape, mais en plus effrayant...).
On substitue le de la première équation dans la deuxième, ce qui nous conduit à :
On isole maintenant dans cette équation (je sais, c'est pénible...) :
d'où
On peut maintenant remplacer cette valeur dans la première équation :
Tout est accompli (même si on est sur le point de mourir)! Ce fut laborieux, mais ce sont toutes des opérations que vous connaissez.