Polardarstellung und Exponentialfunktion komplexer Zahlen
- Autor:
- Jannis Z.
- Thema:
- Komplexe Zahlen, Cosinus, Exponentialfunktionen, Zahlen, Sinus
Dieses Material basiert thematisch und inhaltlich auf dem Skript zum iMPACt+ - Schülerarbeitsheft. Bei iMPACt handelt es sich um ein Projekt der RWTH und der FH Aachen, bei dem ein Kursmodell angeboten wird, mithilfe dessen Themen der "Hochschul-Mathematik" bereits in der Oberstufe im Rahmen sog. "MathePlus"-Kurse behandelt werden können. Die hier aufgegriffenen Inhalte orientieren sich an Kapitel 7 und 8 (Anfang) des Abschnitts "Komplexe Zahlen" (ca. S 421 - 428, Version 2018).
Bearbeitungshinweise
Bearbeiten Sie das Material allerdings, ohne Ihr Skript zu nutzen, bzw. nutzen Sie es nur zum Nachschlagen des vorherigen Stoffes. Eine Bearbeitung mit Nachlesen in den oben genannten Kapiteln ist nicht sinnvoll.
Nutzen Sie außerdem nur so viele Hilfen wie nötig, nicht so viele wie möglich! Die Zeiteinschätzungen zu Beginn der Kapitel können Ihnen dabei helfen zu entscheiden, wie intensiv Sie auf die Hilfen zurückgreifen müssen. Um nach Bearbeitung eines ganzen Abschnitts Ihre Ergebnisse zu überprüfen können Sie dann selbstverständlich alle Hilfen verwenden.
Das Material ist für die Nutzung an PCs oder Laptops erstellt worden. Die Durchführung mit einem Smartphone wird durch die Verwendung des Vollbild Modus verbessert, ist aber nicht optimal.
Inhalt und Motivation
In diesem Material geht es um die Darstellung von komplexen Zahlen mithilfe von Polarkoordinaten und um die Verallgemeinerung der Exponentialfunktion auf komplexe Zahlen. Sie sollten bereits die Darstellung , mit Realteil und Imaginärteil von komplexen Zahlen kennen und damit sicher rechnen können. Außerdem sollten Sie bereits die Polardarstellung von Punkten in kennen. Um auch in dieser Darstellung praktisch und gut arbeiten zu können, müssen Sie außerdem einige grundlegende Rechenregeln von Sinus und Cosinus beherrschen.
Falls Sie die oben genannten Aspekte zwar kennen, aber eine kleine Auffrischung möchten, können Sie sich Kapitel "0" anschauen. Wenn Sie meinen, Sie brauchen eine solche Wiederholung nicht, können Sie direkt mit Kapitel 1 starten.
Sie könnten sich nun natürlich fragen, wieso man die Darstellungsweisen von komplexen Zahlen überhaupt abändern sollte. Als Hilfsmittel zur Lösung von Polynomgleichungen ohne Nullstellen in funktionieren sie schließlich auch so! Als Motivation kann zum einen die Tatsache dienen, dass die Formulierung von Vektoren in mithilfe von Polarkoordinaten ebenfalls nützlich war bzw. ist, um bestimmte Probleme leichter zu lösen. Für die physikalisch und technisch Interessierten unter Ihnen: Man geht in diesen Gebieten sogar oft so weit, dass man das genutzte Koordinatensystem (Polarkoordinaten sind da nicht die einzige Möglichkeit) gezielt den Symmetrien anpasst, die eine Problemstellung aufweist. Zum anderen kann man die komplexe Exponentialfunktion, die man mithilfe der Polardarstellung definiert und interpretiert, nutzen, um sich zum einen viele (sehr viele) Rechnungen deutlich zu erleichtern und zum anderen um neue Probleme lösen zu können (z. B. Schwingungsgleichungen).
Zeiteinschätzung für das Gesamtmaterial: 30 - 45 Minuten (ohne Selbsttest)
Literatur
Cramer, E., Heitzer, J., Helmin, K., Henn, G., Mittler, K., Polaczek, C., Walcher, S., Wittich, O. & Zimmermann, M. (2018) iMPACT+ Schülerarbeitsheft Grundlagenkurs Folgen und Reihen Komplexe Zahlen (Version 2018). (nicht gedruckt).
