∇ × (∇ f ) = 0
Verifique que ∇ × (∇ f ) = 0 para las siguientes funciones.
29.
Resolvemos la parte ∇f de la siguiente manera:
Ahora, resolvemos la parte ∇ × (∇ f ):
Primero , tenemos que :
Ahora, calculamos el rotacional de este gradiente de la siguiente manera:
Entonces, resolviendo las integrales parciales, tenemos lo siguiente:
Por lo tanto, cumple ∇×(∇ f )=0.
31.
Resolvemos la parte ∇f de la siguiente manera:
Entonces, nos queda lo siguiente:
Ahora, calculamos el rotacional de este gradiente de la siguiente manera:
Entonces, resolviendo las integrales parciales, tenemos lo siguiente:
Por lo tanto, cumple ∇×(∇ f )=0.
33.- Muestre que no es un campo vectorial gradiente.
Como ya está en forma , entonces pasamos a calcular la parte para ver si cumple con la condición. Entonces, tenemos a F de la siguiente manera:
Ahora, calculamos el rotacional de este gradiente de la siguiente manera:
Entonces, resolviendo las derivadas, tenemos lo siguiente:
Por lo tanto, como el rotacional de F no es cero en general, concluimos que F no es un campo vectorial gradiente.