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Crea tu Calabaza de Halloween

Autor:Javier Cayetano Rodríguez

¿Cómo podemos hacer para diseñar matemáticamente una calabaza "jack-o'-lantern"?

Para nuestro modelo matemático, podemos partir de una esfera a la que le hacemos algunas operaciones...
  1. Achatar un poco.
  2. Hacer ondas en su "ecuador".
  3. Por último, por motivos estéticos, podemos añadir un tallo y dibujar ojos y boca.
La forma más cómoda de dibujar ondas es utilizar funciones trigonométricas.
  • Dibujamos una circunferencia, pero mientras trazamos la curva, nos vamos alejando y acercando utilizando una función coseno o seno, según prefiramos.
  • En cada punto de ese contorno ondulado, subimos trazando un arco, hasta el punto superior donde elijamos poner el tallo de la calabaza. Si no lo achatamos, bastará con una circunferencia en un plano vertical. Si lo queremos achatar, habrá que trazar una elipse.
  • Para los ojos y la boca, por no complicar la construcción demasiado, podemos utilizar unos polígonos (por ejemplo, triángulos para los ojos) que luego transformemos en prismas con las herramientas de GeoGebra.
Veamos un posible modelo siguiendo esta idea:

Fórmulas matemáticas

  • Nos basaremos en la parametrización de la circunferencia, que en coordenadas x e y viene dada por (cos(u), sen(u)), para u entre 0 y 2π, o entre -π y π, según convenga.
  • Además, usaremos alguna de las propiedades que hacen tan especiales las funciones trigonométricas:
    • cos(u) oscila entre -1 y 1, con lo que puede usarse para añadir o quitar un poco de profundidad en cada punto, según la multipliquemos por el número que elijamos como profundidad.
    • Multiplicando el parámetro u por un número entero, por ejemplo 8, recorremos el periodo no 1 sino esas 8 veces, con lo que conseguimos que el "alejarnos y acercarnos" se repita, formando 8 gajos.
1. CONTORNO Para el contorno, la fórmula podría ser similar a: contornoHorizontal = Curva( cos(u) (r + profundidad*cos(n_{gajos}*u)), sen(u) (r + profundidad*cos(n_{gajos}*u)), u, 0, 2π) Donde r es el radio inicial de la circunferencia ecuador, "profundidad" es cuánto queremos alejarnos de ese ecuador y n_{gajos} en número de ondas que queremos hacer. 2. CALABAZA Superficie de la calabaza: A partir de esto, nos queda hacer que, en cada punto tengamos esa circunferencia achatada, que en lugar de llegar hasta una altura igual al radio, lo hace hasta la altura que fijemos "a" (achatamiento). La fórmula podría ser: calabaza = Superficie( cos(v) cos(u) (r + profundidad*cos(n_{gajos}*u)), cos(v) sen(u) (r + profundidad*cos(n_{gajos}*u)), a*sen(v), u, 0, 2π, v, -π/2, π/2) La parte que añadimos a la función del contorno se ha marcado en negrita.
  • El factor cos(v) en las componentes X e Y se encarga de reducir el contorno horizontal a medida que subimos, cerrando la figura en los polos superior e inferior (el factor cos(v) se encarga de hacer decrecer el radio horizontal a medida que nos acercamos a los polos (donde cos(±π/2) = 0))
  • El factor a*sen(v) en la componente Z controla la altura y estira o achata la elipse vertical de la calabaza, llegando a un máximo marcado por "a", ya que la función seno valora entre -1 y 1.
3. OTROS ELEMENTOS En el modelo anterior se han añadido otros elementos, como el contorno vertical, que dibuja la elipse lateral del gajo. Así podemos ver más claramente cómo el achatamiento a comprime nuestra calabaza. Prueba a cambiar el deslizador a 5 o a 12 gajos para ver cómo el coseno redibuja la planta y la superficie al instante! Como adornos, se ha añadido un tallo a la figura.
Calabazas que podríamos modelizar con nuestras ecuaciones.
Calabazas que podríamos modelizar con nuestras ecuaciones.

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