Hipérbola: Definición, gráfica y ecuaciones
- Autor:
- profeDomingoHely Perez
Contenido
- Conceptos
- Hipérbola con eje focal horizontal
- Hipérbola con eje focal vertical
Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante: . La constante es 2a y equivale a la medida del eje transverso de la hipérbola.
En la figura se muestra una hipérbola con eje focal horizontal. En ella se detallan los diferentes elementos:
Centro, C = (h, k). Es el puto de intersección entre el eje transverso y el eje conjugado. Es el punto medio de cada uno de los dos ejes de la hipérbola.
Eje transverso, : Es el segmento entre los dos vértices.
La longitud del eje transverso es 2a. Por lo tanto a es la longitud del semieje transverso. Equivale a la distancia o .
Eje conjugado, : Es el segmento mediatriz del eje transverso. Su longitud es 2b, por lo tanto, b es la longitud del semieje conjugado.
Cuando el eje conjugado tiene igual longitud que el eje transverso, a = b, se tiene una hipérbola equilátera.
Focos, y : Son dos puntos fijos de la hipérbola que hacen que la diferencia de las distancias de ellos a un punto de la hipérbola sea una constante. Son simétricos al centro de la hipérbola y se ubican en la prolongación del eje transverso.
Eje focal: Es la recta que pasa por el centro y contiene los focos y los vértices de la hipérbola.
Semidistancia focal, c: Es la distancia entre el centro y uno cualquiera de los focos, es decir, la distancia o .
Relación entre semieje transverso, semieje conjugado y semidistancia focal:
La relación es pitagórica pero a diferencia de la elipse, c es mayor que a y mayor que b. Así,
Excentricidad, : Es la razón entre la semidistancia focal y el semieje transverso, . Dado que c > a, la excentricidad de la hipérbola siempre es mayor que la unidad, > 1.
Asíntotas: Son dos rectas que pasan por el centro de la hipérbola a las cuales sus ramas se va acercando indefinidamente.
Para graficar las asíntotas de la hipérbola basta con trazar las diagonales del rectángulo con centro en C y sus lados son eje transverso y eje conjugado.
Las asíntotas permiten hacer una gráfica aproximada de la hipérbola: se ubican los vértices y se trazan las asíntotas.
Se presentan dos applets de la hipérbola. El primero con eje focal horizontal y el segundo con eje focal vertical.
Ecuación canónica y ecuación general de la hipérbola
Ecuación canónica:
- Si el eje focal es horizontal, la ecuación canónica es de la forma .
- Si el eje focal es vertical, la ecuación canónica es de la forma .
Dos observaciones importantes:
1. La ecuación canónica es la diferencia entre dos términos racionales. El primer término (minuendo) siempre es positivo y determina la dirección del eje focal. Si el término de x es positivo, la hipérbola tiene su eje focal horizontal. Si el término de y es positivo, la hipérbola tiene su eje focal vertical.
2. La longitud del semieje transverso es el denominador del término positivo independientemente si es mayor, menor o igual que la longitud del eje conjugado.
Ejemplo:
Sean dos hipérbolas definidas por su ecuación canónica:
a) b)
- Eje focal de la primera es horizontal y el eje focal de la segunda es vertical.
- Eje transverso y eje conjugado: En la primera, y , a > b. En la segunda, , a < b.
- Centro: En la primera, C = (2, -1). En la segunda, C = (-1, 2).
Ecuación general de la hipérbola:
Sea que el eje focal es horizontal o vertical, la ecuación general es de la forma
. Se puede observar en los dos applets que los coeficientes A y C tienen signos distintos.
La ecuación general de la hipérbola, al igual que en las otras cónicas, es un caso particular de la ecuación general de segundo grado . Esta ecuación se analiza en el siguiente capítulo.