Gesundheitstests
Eine häufige Anwendung von bedingten Wahrscheinlichkeiten sind Gesundheitstests. Wir definieren dazu vier Ereignisse:
- eine Person hat die untersuchte Krankheit
- eine Person hat die untersuchte Krankheit nicht
- der Test auf die untersuchte Krankheit ist positiv
- der Test auf die untersuchte Krankheit ist negativ
- die Prävalenz: ist die Wahrscheinlichkeit, mit der die Krankheit in der betrachteten Bevölkerung auftritt
- die Sensitivität: ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test eine kranke Person auch ls krank erkennt
- die Spezifität: ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test richtig erkennt, dass die Person die Krankheit nicht hat (also Testergebnis negativ)
Beispiel: Corona-Schnelltests
Als erstes definieren wir die Ereignisse:
- eine Person hat Corona
- eine Person hat kein Corona
- der Schnelltest war positiv
- der Schnelltest war negativ
Die Vierfeldertafel
Ihr Test ist positiv: Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind Sie tatsächlich krank?
Gefragt ist hier: Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind Sie krank, unter der Bedingung, dass ihr Test vorher positiv war? Also
Mit Hilfe der Vierfeldertafel lässt sich diese Wahrscheinlichkeit bestimmen:
Dieses Ergebnis scheint doch überraschend: Ob wohl die Sensitivität des Tests mit 80% und die Spezifität mit 99,5% sehr hoch scheinen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie krank sind, nur etwas mehr als 50%.
Dies ist ein typisches Ergebnis für einen Test, bei dem die Prävalenz sehr klein ist.
Trauen Sie bei einer kleinen Prävalenz erstmal keinem Testergebnis!
Was folgt daraus für den Alltag?
Tests, bei denen eine kleine Prävalenz vorliegt, haben ein unsicheres Ergebnis. Das liegt daran, dass die "falsch-positiven" Ergebnisse, dass jemand gesundes als krank diagnostiziert wird, genauso oft oder sogar häufiger vorkommen, als die tatsächlich positiven Testergebnisse.
Sie sollten daher in einem solchen Fall bei einem positiven Testergebnis grundsätzlich mindestens einen zweiten Test machen lassen.
Im Beispiel oben haben Sie bei einem positiven Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 53% tatsächlich Corona. Das heißt, wenn der Test einmal positiv war, dann ist danach die Prävalenz schon 53% und damit das Testergebnis des zweiten Tests schon wesentlich aussagekräftiger.