Demonstração por Contrapositiva

Note como todas as linhas de uma proposição (penúltima coluna) e de sua contrapositiva (última coluna) são iguais. Assim, em todos os cenários que uma proposição é verdadeira, sua contrapositiva também é. O mesmo vale para sua falsidade. Por isso, provar ou refutar uma é equivalente a mostrar a outra. Pode parecer estranho, mas tal abordagem é muito útil com algumas situações. Explore o applet a seguir e depois veremos a demonstração de uma proposição em que é muito útil utilizar sua contrapositiva.

Intuitivamente, percebemos que a proposição é verdadeira. O gráfico de uma função afim é uma reta, e como o coeficiente angular difere de zero, não há como uma reta horizontal ao eixo x interceptar a função em dois valores distintos. Todavia, podemos formalizar nossa abordagem e, para isso, usaremos a contrapositiva da definição de injetividade.

Aplicando a contrapositiva na definição de injetividade, precisamos assumir que se h(m) e h(n) são iguais (se 'serem diferentes" é falso, eles são iguais) e mostrar que, necessariamente, m=n. Assim: Assuma h(m)=h(n), onde m e n estão do domínio de h. Então, vale que 7m+2=7n+2. Subtraindo 2 na igualdade, temos que 7m=7n e, dividindo ambos os lados por 7, é verdade que m=n. A proposição particular está demonstrada.

Demonstraremos de uma maneira muito similar, mas de forma geral: Seja f uma função afim. Assim, existem reais a e b tais que para todo elemento x do domínio de f, f(x)=ax+b, onde a é diferente de zero. Provaremos pela contrapositiva: Suponha que m e n sejam elementos do domínio de f, tais que f(a)=f(b). Assim, segue que am+b=an+b. Subtraindo b da igualdade, temos que am=an e, como a é diferente de zero, é verdade que m=n. Assim, provamos que toda função afim é linear.