Mathematikbuch NEUE WEGE (1)
Im Mathematikbuch "Neue Wege", Schroedel-Verlag, Band 11/12 (Oberstufe), Ausgabe Niedersachen (Druck A1, 2012), wird die Kettenlinie richtig definiert durch die Funktion
Auf der Folgeseite gibt es dann folgende Projektaufgabe:
Finden Sie geeignete Parameterwerte für a, b und c, so dass die Kettenlinie gut zu der abgebildeten Kette passt. Benutzen Sie die Kettenlinie in folgender Darstellung:Auch hier wird wieder suggeriert, man könne bei einer Kettenlinie die Parameter a und b unabhängig voneinander varieren. In Anlehnung an die Definition der Funktion für die Kettenlinie hätte die Funktion hier in der Form dargestellt werden sollen, denn tatsächlich sind nur die zwei Parameter b und c herauszufinden, wobei b die Form der Kettenlinie bestimmt und c die Position derart korrigiert, dass sie durch den Punkt (0|1) verläuft.
Noch ein paar Seiten weiter folgt dann diese Aufgabe:
a) Die Brücke, das Absperrseil und der Gateway Arch sollen durch passende Funktionsgraphen beschrieben werden. Dazu werden folgende Punkte ausgelesen bzw. ist folgendes bekannt: (1) Brücke: A(-10|3), B(0|1), C(10|3) (2) Absperrseil: A(-2|2,4), B(0|1), C(2|2,4) (3) Gateway Arch: 192m breit, 192m hoch Finden Sie jeweils eine passende Funktion zu den beiden Funktionstypen (A) p(x)=ax²+b (B) K(x)=keax+ke-axMit der Parabel bei der Golden Gate Bridge ist das kein Problem, anders bei den Kettenlinien in (2) und (3). (2) Absperrseil: Es ist anzunehmen, dass die Autoren des Buches davon ausgehen, dass die Funktion (B) für die Absperrkette anzupassen ist. Die Punkte B und C sollen auf der Kettenlinie liegen, d.h. (I) 1 = k ea·0 + k e-a·0, weil B(0|1) auf der Kettenlinie liegt. (II) 2,4 = k ea·2 + k e-a·2, weil C(2|2,4) auf der Kettenlinie liegt. Aus (I) folgt 1 = k e0 + k e0 1 = k + k, also k = 0,5. Aus (II) folgt dann 2,4 = 0,5·e2a + 0,5·e-2a 4,8 = e2a + e-2a Beide Seiten der Gleichung werden mit e2a multipliziert: 4,8·e2a = (e2a)² + 1 (e2a)² - 4,8·e2a + 1 = 0 Die quadratische Gleichung für e2a hat die Lösungen e2a = 2,4 ± √(4,76) a = 0,5·ln(2,4 ± √(4,76)) Die Lösungen für a sind dann a ≈ 0,761 und a ≈ -0,761 Unabhängig vom Vorzeichen ergibt sich für beide Werte dieselbe Funktion K(x). Aber: Die Funktion K(x) = 0,5·e0,761·x + 0,5·e-0,761·x widerspricht der Kettenlinien-Definition vom Anfang des Kapitels. Der Graph sieht einer Kettenlinie zwar ziemlich ähnlich, aber mathematisch ist dies keine Kettenlinie. Ein korrekter Lösungsweg wäre mit dem Ansatz möglich. (I) , weil B(0|1) auf der Kettenlinie liegt. (II) , weil C(2|2,4) auf der Kettenlinie liegt. Die letzte Gleichung ist eine transzendente Gleichung, die nicht nach aufgelöst werden kann. Das Computer Algebra System (CAS) von GeoGebra kann die Gleichung lösen, es ergibt sich a ≈ 0,61744 und damit c ≈ -0,6159
Offensichtlich ist der Unterschied zwischen der Kettenline f(x) und der Kurve K(x) nur gering.
Aber wenn es in der Aufgabenstellung um die Mathematik der Kettenlinie gehen soll, dann muss man doch einen Ansatz für eine Kettenlinie formulieren, also z.B.
K(x)=1/(2a)·(eax + e-ax) + c oder
K(x)=1/a ·cosh(ax) + c