Problema de dos rectas por homotecia

Autor:
Fernando Meseguer Garrido
Tema:
Círculo, Geometría, Rectas

Enunciado

Determinar las circunferencias que son tangentes a r, forman 60º con s, y pasan por el punto P.

Solución

En cualquier problema de condiciones angulares con dos rectas las soluciones son homotéticas entre si, siendo el centro de homotecia H+ el punto de corte de las dos rectas. 1- Buscamos una circunferencia de radio R arbitrario que cumpla las condiciones descritas con las rectas r y s. 2- Como la circunferencia ha de ser tangente a r, su centro tiene que estar a una distancia R de r. 3- El lugar geométrico de centros de circunferencias que son tangentes a la recta r son las rectas g y g’. El lugar geométrico de centros de circunferencias que forman un ángulo cualquiera con una recta es también un par de rectas paralelas. 4- Por punto cualquiera de s, 5- Se traza una segmento que forme 60º con s. 6- Y se lleva la distancia R en perpendicular a dicho segmento. 7- Las rectas l y l’ son los lugares geométricos de centros de circunferencias de radio R que forman 60º con s. 8-Las intersecciones de los lugares geométricos nos darán centros de soluciones de radio R homotéticas con la solución buscada. Por la posición del punto P, nos interesa la circunferencia ca, cuyo centro (Oa) está en la intersección de l y g. 9- La recta que pasa por el centro de homotecia H+ y por el centro (Oa) corta ortogonalmente a todas las circunferencias homotéticas a ca. Hay dos posibilidades para solucionar el problema a partir de aquí:
  • Soluciones homotéticas
10-Con el centro de homotecia H+ (intersección de r y s) podemos determinar P’ y P’’, homotéticos del punto P en ca. 11- El segmento /// que unen Oa y P’’ determina la dirección de la recta lugar geométrico, 12- del centro O2 de la solución s2, desde P. 13- Igualmente, el segmento // que unen Oa y P’ determina la dirección de la recta lugar geométrico, 14- del centro O1 de la solución s1, desde P.
  • Problema fundamental de tangencias
10- Dado que la recta es eje de simetría del problema, las circunferencias solución han de pasar también por P', el simétrico de P. Queda definido un haz elíptico, cuyo eje radical pasa por P y P'. Las circunferencias pertenecientes al haz y tangentes a r son las soluciones buscadas. 11- El Centro radical, Cradical, del haz solución es la intersección entre r y el eje eje radical. Empleando un teorema del cateto con P y P' 12- se puede determinar el radio k de la circunferencia co perteneciente al haz hiperbólico conjugado y ortogonal a r. Sus intersecciones con r son los puntos de tangencia T1 y T2. 13- Ortogonales a r por los puntos de tangencia tenemos lugares geométricos del centro de las soluciones 14- Cuya intersección con la recta base define los centros O1 y O2 de las soluciones, y por extensión las soluciones s1 y s2.

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