Monotonie einer Funktion
Ein 9,5 km langer Wanderweg führt von der Talstation bis zur Steinkoglhütte.
Die Funktion f ordnet der Länge des zurückgelegten Weges jeweils die aktuelle Seehöhe zu.
f: [0,23] → R+, Weg (in km) → Seehöhe (in m)
Gerade beim Wandern oder Rad fahren interessiert dich sicher, wann es bergauf und wann es bergab geht. Mathematisch gesehen fragen wir uns dabei, ob Funktionswerte steigen (wachsen) oder fallen.
Definition: Eine Funktion heißt
streng monoton steigend im Intervall I, wenn für alle x1; x2 ϵ I gilt: x1 ˂ x2 → f(x1) ˂ f(x2). Der Funktionswert f(x) wird mit größer werdendem x größer.
monoton steigend im Intervall I, wenn für alle x1; x2 ϵ I gilt: x1 ˂ x2 → f(x1) ≤ f(x2). Der Funktionswert f(x) wird mit größer werdendem x gleich oder wird größer.
streng monoton fallend im Intervall I, wenn für alle x1; x2 ϵ I gilt: x1 ˂ x2 → f(x1) ˃ f(x2). Der Funktionswert f(x) wird mit größer werdendem x kleiner.
monoton fallend im Intervall I, wenn für alle x1; x2 ϵ I gilt: x1 ˂ x2 → f(x1) ≥ f(x2). Der Funktionswert f(x) wird mit größer werdendem x nicht größer.
Aufgabe 1)
Beschreibe die Funktion die dem Höhenprofil der Abbildung zugrunde liegt.
Zum Beispiel: f(0) ≈ 200 m, denn die Talstation liegt 200 m über dem Meer.
Aufgabe 2)
Beschreibe die Monotonie der Funktion.
Zum Beispiel:
In 0 ˂ x ˂ 1,2 ist f streng monoton steigend. Die ersten 1,2 km geht es bergauf.
Aufgabe 3)
Welche Beobachtung kannst du hinsichtlich der Monotonie der Funktion machen? An welchen Stellen ändert sich die Monotonie der Funktion?