M2.III.7.1 L HDI Teil 1 & Stammfunktionen
Leitfrage zu Phase 7
Lässt sich das bestimmte Integral auch direkt bestimmen?Auf Basis dieser Leitfrage wird der HDI in zwei Schritten in Phase 7.1 und Phase 7.2 erarbeitet.
Zunächst wird in Schritt 1 die Definition von Stammfunktionen erarbeitet (Phase 7.1).
Schritt 2 führt dann zu der Erkenntnis wie mit Stammfunktionen der Wert eines Integrals mit beliebigen Grenzen bestimmt werden kann (Phase 7.2).
Leitfrage zu Phase 7.1 (Schritt 1)
Kann man (wie bei der Ableitung) aus der Änderungsfunktion die Bestandsfunktion eindeutig rekonstruieren?
HDI Teil 1
Mit Hilfe von Applet
M2.II.5a) App Verfeinern Rechteckstreifen
aus Phase 5 kann zunächst wiederholt werden, dass im oberen Koordinatensystem die Änderungsfunktion und im unteren Koordinatensystem eine Näherung der dazugehörenden Bestandsfunktion abgebildet sind. Durch Grenzwertbildung von Ober- und Untersumme wird die Bestandsfunktion aus der Änderungsfunktion rekonstruiert.
Mit Rückblick auf das Thema Ableitung gilt dann: , Integrieren ist die Gegenoperation zum Differenzieren.
Dieser Zusammenhang ist Teil 1 des HDI. In Verbindung damit kann eine Stammfunktion zu allgemein definiert werden als eine Funktion , deren Ableitung der Änderungsfunktion entspricht.
Die Frage nach der Eindeutigkeit von Stammfunktionen sollte mit Hilfe von Applet M2.I.2 App Wannenparadox aus dem gleichnamigen Arbeitsblatt sowohl anschaulich (Anfangsbestand) als auch graphisch (Verschiebung des Graphen einer Stammfunktion nach oben und unten) betrachtet werden.
Damit kann die Definition von Stammfunktionen um den folgenden Aspekt ergänzt werden:
An dieser Stelle im Unterrichtsgang sollten die Regeln zum Bestimmen von Stammfunktionen besprochen und das Bestimmen von Stammfunktionen sowohl graphisch als auch rechnerisch geübt werden.
Übungen zu beiden Themen finden Sie wie immer weiter unten.
In Kapitel V finden sie zwei mögliche Applets (*M2.V.3 App und *M2.V.4 App) zur Veranschaulichung des graphischen Integrierens.
M2.II.5a) App Verfeinern Rechteckstreifen
aus Phase 5 kann zunächst wiederholt werden, dass im oberen Koordinatensystem die Änderungsfunktion und im unteren Koordinatensystem eine Näherung der dazugehörenden Bestandsfunktion abgebildet sind. Durch Grenzwertbildung von Ober- und Untersumme wird die Bestandsfunktion aus der Änderungsfunktion rekonstruiert.
Mit Rückblick auf das Thema Ableitung gilt dann: , Integrieren ist die Gegenoperation zum Differenzieren.
Dieser Zusammenhang ist Teil 1 des HDI. In Verbindung damit kann eine Stammfunktion zu allgemein definiert werden als eine Funktion , deren Ableitung der Änderungsfunktion entspricht.
Die Frage nach der Eindeutigkeit von Stammfunktionen sollte mit Hilfe von Applet M2.I.2 App Wannenparadox aus dem gleichnamigen Arbeitsblatt sowohl anschaulich (Anfangsbestand) als auch graphisch (Verschiebung des Graphen einer Stammfunktion nach oben und unten) betrachtet werden.
Damit kann die Definition von Stammfunktionen um den folgenden Aspekt ergänzt werden:
An dieser Stelle im Unterrichtsgang sollten die Regeln zum Bestimmen von Stammfunktionen besprochen und das Bestimmen von Stammfunktionen sowohl graphisch als auch rechnerisch geübt werden.
Übungen zu beiden Themen finden Sie wie immer weiter unten.
In Kapitel V finden sie zwei mögliche Applets (*M2.V.3 App und *M2.V.4 App) zur Veranschaulichung des graphischen Integrierens.*Optionale Vertiefung: Integralfunktion
An dieser Stelle kann man den Unterricht mit einem Blick auf die Integralfunktion vertiefen.
Dabei hilft ebenfalls ein Blick zurück zum Gepard und dem Vorgehen bei der Ableitung: aus der Ableitung an einer Stelle wurde mithilfe der Leitfrage "Wie hängt die Geschwindigkeit des Gepards von der Zeit ab?" die Ableitung an jeder beliebigen Stelle sowie die Ableitung als (eigenständige) Funktion entwickelt (vgl. Modul 1 Phase 10).
Was bedeutet nun das Integral abhängig von ?
Das Integral ist definiert über einem Intervall, beinhaltet also zwei variable Größen, nämlich die untere und die obere Grenze. Es bleibt aber die Möglichkeit eine Grenze (z.B. die untere als ) festzulegen und die andere Grenze (als ) zu variieren.
Damit entsteht eine Funktion abhängig von , die die Gesamtänderung des Bestands von der unteren, festgelegten Intervallgrenze bis zur oberen Grenze (bzw. die Fläche zwischen dem Graphen von und der im Intervall von bis ) angibt.
Integralfunktion
Diese Idee lässt sich mithilfe des Applets
*M2.III.7.1.a App Integralfunktion
erarbeiten.
Hinweis: Damit man die variable Grenze der Integralfunktion nicht mit der Variablen der Änderungsfunktion verwechselt, benennt man die Variablen in der Änderungsfunktion um (z.B. ).
Welchen Wert nimmt man nun für ? - Man kann ihn beliebig festlegen, deshalb gibt es auch unendlich viele Integralfunktionen zu einer Änderungsfunktion .
Mit dem Applet
*M2.III.7.1b App Integrator
lassen sich diese Überlegungen vertiefen.
*M2.III.7.1.a App Integralfunktion
erarbeiten.
Hinweis: Damit man die variable Grenze der Integralfunktion nicht mit der Variablen der Änderungsfunktion verwechselt, benennt man die Variablen in der Änderungsfunktion um (z.B. ).
Welchen Wert nimmt man nun für ? - Man kann ihn beliebig festlegen, deshalb gibt es auch unendlich viele Integralfunktionen zu einer Änderungsfunktion .
Mit dem Applet
*M2.III.7.1b App Integrator
lassen sich diese Überlegungen vertiefen. *HDI Teil 1 mit Integralfunktion
Die Integralfunktion ist eine Funktion abhängig von , die die Gesamtänderung des Bestands von der unteren, festgelegten Intervallgrenze bis zur oberen Grenze (bzw. die Fläche zwischen dem Graphen von und der im Intervall von bis ) angibt. ist also eine Bestandsfunktion [F] zur Änderungsfunktion .
Mit den Überlegungen oben, die zum HDI Teil 1 führen - Integrieren ist die Gegenoperation zum Ableiten - ergibt sich dann für die Integralfunktion .
Ein Nachweis für diesen Zusammenhang kann mit der h-Methode geführt werden.
Mithilfe des Applets
*M2.III.7.1c App Beweis HDI Teil 1 h-Methode
sollten dazu zunächst anschauliche Überlegungen angestellt werden:
Auf der Basis kann die Behauptung formal begründet werden:
Alternativ kann der Nachweis auch mit der Delta-Methode geführt werden. Das Applet
*M2.III.7.1d App Beweis HDI Teil 1 Delta-Methode
unterstützt die Erarbeitung.
*Unterschied Stammfunktion und Integralfunktion
Zu einem späteren Zeitpunkt können bei entsprechendem Kursniveau Integralfunktionen aufgegriffen und Unterschiede zu Stammfunktionen thematisiert werden. Aus Gründen der didaktischen Fokussierung empfehlen wir die Behandlung dieser vergleichsweise komplexen Fragestellung jedoch nicht an dieser Stelle im Unterrichtsgang. (vgl. Kapitel *V.).
GeoGebra als Werkzeug
An dieser Stelle im Unterrichtsverlauf kann der GeoGebra-Befehl 
GeoGebra-Befehlsliste Modul 2
Er ermöglicht es den SuS ihre hilfsmittelfreien Lösungen zu kontrollieren.
Der Befehl kann von den SuS eigenständig erarbeitet werden, indem die sie den Begriff
*M2.III.7.1c App Beweis HDI Teil 1 h-Methode
sollten dazu zunächst anschauliche Überlegungen angestellt werden:
Auf der Basis kann die Behauptung formal begründet werden:
Alternativ kann der Nachweis auch mit der Delta-Methode geführt werden. Das Applet
*M2.III.7.1d App Beweis HDI Teil 1 Delta-Methode
unterstützt die Erarbeitung.
*Unterschied Stammfunktion und Integralfunktion
Zu einem späteren Zeitpunkt können bei entsprechendem Kursniveau Integralfunktionen aufgegriffen und Unterschiede zu Stammfunktionen thematisiert werden. Aus Gründen der didaktischen Fokussierung empfehlen wir die Behandlung dieser vergleichsweise komplexen Fragestellung jedoch nicht an dieser Stelle im Unterrichtsgang. (vgl. Kapitel *V.).
GeoGebra als Werkzeug
An dieser Stelle im Unterrichtsverlauf kann der GeoGebra-Befehl Integral() eingeführt werden.
GeoGebra-Befehlsliste Modul 2
Er ermöglicht es den SuS ihre hilfsmittelfreien Lösungen zu kontrollieren.
Der Befehl kann von den SuS eigenständig erarbeitet werden, indem die sie den Begriff Integral
in das Eingabefeld des Grafikrechners eintippen und als Argument die Bestandsfunktion angeben.
Die ausführlich Erkundung des Befehls findet am Ende der nächsten Phase im digitalen Arbeitsblatt
*M2.III.7.2b AB Den Befehl Integral erforschen statt. Zeitbedarf
2h + Zeit für Übungen
Übungsaufgaben
Fundamente, RLP, LK (2023, Band 1): S. 193-194 (Stammfunktionen grafisch bestimmen)
Fundamente, RLP, LK (2023, Band 1): S. 195-197 (Stammfunktionen rechnerisch bestimmen)
Fundamente, RLP, GK (2023, Band 1): S. 176-177 (Stammfunktionen grafisch bestimmen)
Fundamente, RLP, GK (2023, Band 1): S. 178-180 (Stammfunktionen rechnerisch bestimmen)
Elemente der Mathematik, RLP, LK (2017): S. 211, S. 216-218
bettermarks: "Stammfunktionen und Integrale", Kap. 2 (Stammfunktionen)
Lambacher Schweizer, RLP, LK (2022): S. 167 Nr. 1/2 (Stammfunktionen rechnerisch bestimmen), S. 171/172 Nr. 1 (Stammfunktionen rechnerisch bestimmen), 5/6 (Skizzieren des Graphen einer Stammfunktion)