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Spatvolumen & Lagebeziehung 2er Geraden

Auteur :Bernhard Planner, Thorsten Glaser
Thème :Géometrie
Problem: Für bestimmte Aufgabenstellungen und v. a. bei Geraden mit Parametern sind die Standardverfahren zur Unterscheidung der Lagebeziehung oft sehr rechenintensiv und fehleranfällig, z. B. aufgrund der notwendigen Fallunterscheidungen. Daher empfiehlt sich oft ein kleiner "Umweg" bzw. eine kleine "Abkürzung" über die Berechnung eines Spat-Volumens. Zielsetzung: In dieser Lernsequenz erlernen Sie, warum das Spatvolumen bei diesem Problem weiterhilft, welche Vektoren dafür genutzt werden müssen und bei welchen Aufgabenstellungen genau diese Methode schneller zum Ergebnis führt. Ausgangssituation: Gegeben sind zunächst drei Punkte A, B und C. Zu Beginn werden nur ihre Ortsvektoren angezeigt, die ein Spat aufspannen, daher kommt der Begriff "Spannvektoren". Lassen Sie sich das Spat anzeigen (Haken setzen) und drehen Sie diesen, bis Sie sich das Spat klar vorstellen können. Verfügbare Schalter: Rechts neben den Feldern zur Punkteingabe befinden sich drei Schalter: 1. Koordinatensystem ein/aus 2. Drehung starten/beenden 3. Startposition wiederherstellen (inkl. Koordinaten von A, B und C) AUFGABE: Stellen Sie ggf. die Startposition wieder her und bearbeiten Sie anschließend die Aufgaben unten. bearbeiten.

Die beiden Geraden g und h "am Spat"

Schalten Sie die beiden Geraden g und h ein (Haken setzen). Drehen Sie die Figur, bis Sie sich die räumliche Situation klar vorstellen können. ACHTUNG: Vor der Bearbeitung dieser Aufgabe muss die Ausgangsposition wieder hergestellt worden sein (s. oben, Schalter ganz rechts). Über welche Lagebeziehung verfügen die beiden Geraden g und h?

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  • A
  • B
  • C
  • D
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Veränderung von z(A)

Verändern Sie nun die z-Koordinate des Punktes A in kleinen Schritten (4 --> 3 --> 1 usw.). Beobachten Sie die Veränderung des Spats sowie des zugehörigen Volumens. Bei welchem Wert verändert sich die Lagebeziehung von g und h?

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  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
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Die neue Lagebeziehung

Welche Lagebeziehung hat sich durch die "korrekte" Veränderung des z(A)-Wertes in Frage 2 ergeben?

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  • A
  • B
  • C
  • D
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Die verbleibenden Lagebeziehungen

Welches Spatvolumen ergibt sich bei zwei parallelen Geraden (identisch oder echt parallel?

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  • A
  • B
  • C
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Die verwendeten Vektoren

Welche drei Vektoren werden für die Berechnung dieses Spatvolumens verwendet?

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  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
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Alternative Berechnungsmöglichkeit

Das Spatvolumen lässt sich über einen weiteren Weg einfach berechnen. Über welchen?

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  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
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Spatvolumen von Null

In welchen Fällen ergibt sich als Spatvolumen der beiden Richtungsvektoren der Geraden und dem Verbindungsvektor der Aufpunkte gleich Null?

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  • A
  • B
  • C
  • D
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Zusammenfassung: Aufgaben des folgenden Typs (s. unten) können über die Betrachtung des Spatvolumens aus den beiden Richtungsvektoren der Geraden und dem Verbindungsvektor der Aufpunkte oft deutlich einfacher gelöst werden als über das Standardverfahren (Gleichsetzen und/oder Richtungsvektoren auf Kollinearität überprüfen). "Weisen Sie nach, dass die beiden Geraden g und h windschief sind." "Zeigen Sie, dass die beiden Geraden gt und h unabhängig vom Parameter t windschief zueinander verlaufen." "Berechnen Sie alle Werte des Parameters t, für die die beiden Geraden gt und h nicht windschief zueinander verlaufen."

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