Kreis-6-Ecke erweitern
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene (Mai 2022)
Den Applets oben und unten liegen 6-Eck-Netze aus den Kreisen dreier Kreisbüschel zu Grunde.
Eine „kleinste Einheit“ eines solchen Netzes besteht aus 3*5 Kreisen und 37 Schnittpunkten.
Ein solches Netz läßt sich erweitern durch einen weiteren Punkt auf einem der Netz-Kreise.
Die weiteren Kreise sind bestimmt - durch 3 verschiedene Punkte geht genau ein Kreis.
Bei allen diesen Experimenten ergab die rechnerische Überprüfung, dass sich die 6-Ecke nicht mehr
schließen.
Im Gegensatz zu 6-Eck-Netzen aus Geraden scheint also die Erweiterung von Kreis-Netzen keine weiteren
6-Eck-Netze zu ergeben.
Wir hatten diese Experimente im Blick auf den Satz von Graf und Sauer über 6-Eck-Netze aus Geraden unternommen:
Die Geraden eines geradlinigen 6-Eck-Netze sind Tangenten einer Kurve 3. Klasse; diese Kurven sind definiert
als algebraische Kurven mit der Eigenschaft: in einem offenen Teilbereich der Ebene gehen durch jeden Punkt
genau 3 Tangenten der Kurve.
Wir haben uns gefragt, ob sich 6-Eck-Netze aus Kreisen auf ähnliche Weise charakterisieren ließen: etwa als
Hüll-Kreise eines speziellen Kurven-Typs.
Das von W. Wunderlich beschriebene „besondere 6-Eck-Netz aus Kreisen“ besteht aus drei Kreisscharen, welche
eine bizirkulare Quartik einhüllen.
bla
Vergleich: erweitert man die kleinste Einheit eines aus 3 Geraden-Büscheln entstehenden 6-Eck-Netzes durch einen zusätzlichen
Punkt und die damit entstehenden Verbindungsgeraden, so ist eine solche Fortsetzung wieder ein 6-Eck-Netz aus Geraden;
das fortgesetzte 6-Eck-Netz ist dann ein Geraden-6-Ecknetz aus den Tangenten einer Kurve 3. Klasse.
Für 6-Eck-Netze aus den Kreisen dreier Kreisbüschel (sofern diese überhaupt ein 6-Eck-Netz bilden)
scheint eine solche Erweiterung zu einem anderen 6-Eck-Netz außer dem vorliegenden Netz aus den Kreisen des
Kreisbüschel-Netzes nicht möglich zu sein.
Einer Lösung des Problems von W. Blaschke kommt man wohl auf diesem Wege nicht näher.