Derivadas - Definción

Definción de Derivada
Concepto de derivada La derivada de una función nos da la idea del crecimiento o decrecimiento de una función en cada punto perteneciente a su dominio. Como punto de partida, tenemos una función f(x) representada en el gráfico correspondiente, en ella determinamos un punto fijo perteneciente al gráfico de dicha función con coordenadas (a,f(a)). Trazamos luego la recta tangente a la curva en dicho punto. Definición: “La derivada de una función es la pendiente de la recta tangente a la curva en un determinado punto”. Ahora bien, el problema se nos presenta en poder determinar con la mayor precisión posible la pendiente da la mencionada recta tangente al punto mencionado como ejemplo. Vamos primero a repasar, el concepto de pendiente de una recta, para ello vamos a trazar una recta que pase por el punto A(a,f(a)) fijo y determinado en la gráfica y otro punto variable de la misma función f(x), a éste punto lo llamaremos B(x,f(x)) cuyo gráfico estamos viendo. Estos 2 puntos determinan una recta, secante a la curva.  Pregunta N°1. ¿Cómo hallamos la pendiente de la recta AB secante a la curva? Respuesta: La ecuación de la recta se puede concebir (entre otras) como y = mx + n, donde m es la pendiente de dicha recta. Dicha pendiente se determina por el cociente incremental, que en nuestro gráfico es m = Al poder mover el punto B, vamos determinando diferentes pendientes de la recta secante por lo tanto:  Pregunta N°2. ¿Qué sucede con la secante a medida que x se aproxima a “a”? Respuesta: A medida que el punto B se aproxima al punto A, tenemos mejores aproximaciones sobre la recta tangente, por lo nos quedamos con la “más cercana” posible.  Pregunta N°3. ¿Cuánto nos conviene acercarnos para tener la mejor aproximación? Respuesta: Tanto como sea posible, esto para nosotros es cuando por lo tanto la expresión que estamos buscando en la gráfica coincide con el siguiente límite en el caso de que éste exista: y a este límite le llamaremos Derivada de una función en un punto determinado (a). Conclusión: a través del cálculo del límite obtenemos una muy interesante aproximación a la recta tangente a la curva en cualquier punto, por lo que estamos en condiciones de considerarlo como la pendiente de la recta tangente a la curva en ese determinado punto. Tareas para los alumnos: Determine el gráfico de otra función diferente a f(x) y construya el applet correspondiente para determinar su derivada.