parabolic pencils of circles

Author:
Walter Füchte
Topic:
Circle, Complex Numbers, Differential Equation, Geometric Transformations

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books geometry of some complex functions october 2021

Ein parabolisches Kreisbüschel besteht aus allen Kreisen, welche einen vorgegebenen Kreis in einem vorgegebenen Punkt - dem Grundpunkt des Büschels - berühren. Die Parallelen zur -Achse sind möbiusgeometrisch ein solches parabolisches "Kreisbüschel": Die "Kreise" sind hier Geraden, welche durch den Punkt gehen und sich dort berühren. Dies erkennt man am ehesten mit Hilfe der stereographischen Projektion. Jedes Parallelen-Büschel ist ein parabolisches Kreisbüschel mit als Grundpunkt. Eine Möbiustransformation, welche die Punkte auf drei verschiedene Punkte abbildet, transformiert das Büschel der zur -Achse parallelen Geraden in ein parabolisches Kreisbüschel, welches die Parallelen auf Kreise abbildet, die den Kreis durch in berühren. Umgekehrt läßt sich jedes parabolische Kreisbüschel durch eine Möbiustransformation in ein Parallelen-Büschel transformieren.
Allgemein sind Kreisbüschel und deren Loxodrome - also die Kurven, welche die Kreise des Büschels unter konstantem Winkel schneiden - charakterisiert durch eine Differential-Gleichung und damit durch ein Vektorfeld des Typs
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Hierbei ist die komplexe Lösungsfunktion analytisch, bzw. meromorph. Die Nullstellen , die wir Brennpunkte nennen, können zusammenfallen ( - dann liegt ein parabolisches Kreisbüschel vor - ). Man kann die Kreise eines hyperbolische Kreisbüschels dynamisch deuten als Kreiswellen, die sich von einer Quelle aus in Richtung der Kreise des orthogonalen elliptischen Kreisbüschel zur Senke bewegen. Quelle und Senke sind die Brennpunkte der Wellen-Bewegung. Wir nennen diese Vektorfelder linear. Zur Erklärung verweisen wir auf die Darstellung der Möbiusgruppe durch die komplexe spezielle orthogonale Gruppe SO(3,) und deren LIE-Algebra . geogebra-book Möbiusebene, speziell das Kap. Kreisbüschel und lineare Vektorfelder Überlagert man 2 solcher Vektorfelder, so entstehen "quadratische Vektorfelder", deren Lösungskurven konfokale Kegelschnitte oder konfokale bizirkulare Quartiken sein können. Brennpunkte sind jeweils die Nullstellen der linearen Vektorfelder. Die Lösungskurven sind in diesen Fällen Winkelhalbierende der sich schneidenden Kreise aus den beiden Kreisbüschel. links: geogebra-book möbiusebene geogebra-book Leitlinien und Brennpunkte

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