Propositie 17
In elke driehoek zijn twee hoeken samen kleiner dan twee rechte hoeken.
Inleiding
In propositie 17 bewijst Euclides dat de som van twee hoeken in een driehoek altijd kleiner
is dan 180°. Het is een directe toepassing van propositie 16. Voor ons lijkt deze stelling vanzelfsprekend. Als de som van de drie hoeken in een driehoek 180° is, is uiteraard de som van 2 hoeken kleiner dan 180°.
Maar op dit moment in de Elementen heeft Euclides de hoekensom in een driehoek nog niet bewezen. Zoals gezegd gebeurt dat in propositie 32. Hij kan dus deze stelling natuurlijk hier niet gebruiken en kan enkel werken met wat hij al heeft. Je ziet hier dus weer een voorbeeld van de strikte deductieve opbouw van Euclides.
Oude versie
In elke driehoek zijn twee hoeken samen kleiner dan twee rechte hoeken.
ABC is een driehoek. Ik zeg dat twee hoeken van de driehoek ABC, hoe ook gekozen, samen kleiner zijn dan twee rechte hoeken.
Verleng BC tot D. (post 2)
Omdat de hoek ACD een buitenhoek is van de driehoek ABC, is ze groter dan de niet-aanliggende binnenhoek ABC. (prop 16)
Voeg aan elk de hoek ACB toe. Dus zijn de hoeken ACD en ACB samen groter dan de hoeken ABC en BCA. (ai 2)
Maar de hoeken ACD en ACB zijn samen gelijk aan twee rechte hoeken. (prop 13)
Dus zijn de hoeken ABC en BCA samen kleiner dan twee rechte hoeken.
Op dezelfde manier kan bewezen worden dat ook de hoeken BAC en ACB samen kleiner zijn dan twee rechte hoeken, en evenzo de hoeken CAB en ABC.