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Activité : Le quadrilatère tournant

On considère un rectangle ABCD de dimensions données AB=6 cm et BC=8 cm.Sur le segment [AB], on place un point M quelconque.On place ensuite les points N sur [BC], P sur [CD] et Q sur [DA] tels que AM=BN=CP=DQ. On s’intéresse à l’aire du quadrilatère MNPQ.
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Partie 1

On propose de construire la figure avec le logiciel Geogebra.
  1. Faire afficher l’axe et la grille. Sélectionner Axe X :Axe Y, puis 1 :1. On obtient ainsi un repère orthonormé.
  2. Dans ce repère, placer  donner les coordonnées des points  et . Placer alors les points  Tracer le rectangle  , pour cela tracer les segments du quadrilatère 
  3. Créer un curseur comme indiqué ci-contre
  4. Placer le point  de coordonnées (0 ;a). Que représente ce curseur ?
  5. Déterminer  les coordonnées de  et  en fonction de a. Placer les points 
  6. Tracer le quadrilatère  en utilisant l’icône polygone : 
  7. Faire afficher l’aire du quadrilatère  en utilisant l’icône 

Partie 2

Conjecturer les réponses aux questions suivantes

Question 1

Où placer exactement le point M tel que l’aire du quadrilatère MNPQ soit égale à 25 cm² ?

Question 2

Comment varie l’aire du quadrilatère MNPQ ?

Question 3

Où placer exactement le point M pour que l’aire du quadrilatère soit strictement inférieure à 30 ?

Partie 3

Nous allons maintenant résoudre les 3 conjectures faites dans la partie 2. Pour cela à vous de choisir votre piste en fonction de vos capacités (à faire sur feuille).