H έννοια της συνάρτησης ως αντιστοιχίας
Εισαγωγή
Δεδομένη και αυτονόητη η σημασία που έχει η έννοια της
συνάρτησης για τη διδασκαλία των μαθηματικών, τόσο στη συγκεκριμένη τάξη, όσο
και στο σύνολο σχεδόν του σχολικού βίου ενός μαθητή. Δεδομένη και η δυσκολία
(έως και αντιπάθεια...) των μαθητών για αυτή την ιδιαίτερα σημαντική έννοια,
για το σύνολο σχεδόν του σχολικού -και όχι μόνο- βίου ενός μαθητή.
Επομένως, καθοριστικός ο ρόλος της εισαγωγής της έννοιας από
τον Καθηγητή Μαθηματικών του Γυμνασίου ή/και του Λυκείου. Συνεπώς,
περιοριστικές ή/και ακατάλληλες προσεγγίσεις σχετικές με την έννοια, είναι
πιθανό να δημιουργήσουν ελλιπείς ή και λανθασμένες πεποιθήσεις, που στην πορεία
θα δημιουργήσουν εννοιολογικά εμπόδια για την κατανόηση περισσότερο απαιτητικών
εννοιών που συνδέονται με την έννοια της συνάρτησης, όπως εκείνες του
Απειροστικού Λογισμού.
Δεδομένες και αυτονόητες (;) συνεπώς και οι δυσκολίες που
περιέχει η συγκεκριμένη έννοια στη διδασκαλία της. Ιδιαίτερα μάλιστα, όταν
επιχειρείται η ενσωμάτωση της τεχνολογίας προς αυτή την κατεύθυνση.
Δεδομένα τέλος και ιδιαίτερα χρήσιμη, η διδακτική εμπειρία
και τα αντίστοιχα -εμπειρικά- δεδομένα
Ερώτημα: επαρκούν;
Δεν είναι τυχαίο, ότι ακόμη και σήμερα (200 περίπου χρόνια
από τον ορισμό της συνάρτησης από τον Dirichlet (1837)), μεγάλος αριθμός
σημαντικών ερευνητών της Διδακτικής των Μαθηματικών, ασχολείται τόσο με τα
εννοιολογικά προβλήματα, όσο και με τα προβλήματα κατανόησης της συνάρτησης.
Επίσης, σημαντικός αριθμός ερευνητών, αναφέρεται στα επιστημολογικά εμπόδια και
στις περιοριστικές αντιλήψεις (που εν τέλει εξελίσσονται σε πεποιθήσεις) των
μαθητών για την έννοια της συνάρτησης.
Εν γένει, τα προβλήματα σχετικά με την έννοια της
συνάρτησης, συνοψίζονται στις παρανοήσεις των μαθητών στη θεώρηση της
συνάρτησης τόσο ως προς τη δομική αντιμετώπιση της συνάρτησης ως αντικειμένου
(π.χ σύνολο διατεταγμένων ζευγών), όσο και ως προς τη λειτουργική διάσταση της
συνάρτησης (π.χ τύπος της συνάρτησης ως μέσου για να μεταφερόμαστε από ένα
σύστημα σε ένα άλλο).
Παρανοήσεις, που σε μεγάλο βαθμό οφείλονται στον τρόπο που
διδάσκουμε την έννοια και πού δομούμε το εννοιολογικό της πλαίσιο.
Ξεκινώντας λοιπόν από την παραδοχή ότι όλοι μας, είτε
διδάσκουμε στο Λύκειο είτε στο Γυμνάσιο, συναντάμε αυτά τα εμπόδια και τα
προβλήματα, επισυνάπτουμε ορισμένες σύντομες ερευνητικές αναφορές σχετικά με τη
διδασκαλία της συνάρτησης.
Στη συνέχεια, παρουσιάζουμε ένα σενάριο διδασκαλίας της
έννοιας της συνάρτησης, μέσω της εισαγωγής της έννοιας της αντιστοιχίας δύο
συνόλων, η οποία εν πολλοίς στηρίχθηκε στα προηγούμενα ερευνητικά δεδομένα. Το
συγκεκριμένο σενάριο παρουσιάστηκε σε μαθητές της Β΄ Γυμνασίου στο Γ΄ Γυμνάσιο
Αγ. Βαρβάρας, διάρκειας 2 διδακτικών ωρών και, τα αποτελέσματα της διδασκαλίας
παρουσιάζονται στο τέλος του παρόντος. Η ιδέα εν πολλοίς στηρίζεται στην
αντιστοιχία των διαιρετών Δ στα πηλίκα π και στα υπόλοιπα υ της Ευκλείδειας
Διαίρεσης.
