Möbiustransformationen auf der Kugel

Diese Seite ist Teil des GeoGebrabooks Moebiusebene (29.09. - 21.10.2020)

Die Möbiusebene wird stereographisch auf die Einheitskugel projiziert. Der "Sonderpunkt" entspricht dabei dem Nordpol. Kreise in werden auf Kreise auf der Kugel projiziert: das sind Schnitte mit Ebenen. Geraden werden Kreise durch . Betrachtet man die Kugel und die Ebenen als Teil eines Projektiven Raumes , dann ist in dem zugehörigen Vektorraum eine quadratische Form mit der Signatur (+,+,+,-) ausgezeichnet. Die Gruppe der linearen Abbildungen mit Determinante 1, welche die Form invariant lassen, ist fast isomorph zur Gruppe der gleichsinnigen Möbiustransformationen: Die Abbildungen lassen die Einheitskugel invariant und sind kreistreu. Beachten muss man nur, dass und dieselbe Wirkung besitzen. Hermitesche Matrizen Die hermiteschen 2X2-Matrizen bilden einen 4-dimensionalen reellen Vektorraum; eine Matrix ist hermitesch, wenn gilt. Eine Basis bilden zusammen mit der Identität die PAULI-Matrizen , und . Jede Matrix läßt sich reell linear-kombinieren als , Mit Nutzung der Determinante wird auf eine quadratische Form der Signatur (-,+,+,+) erklärt durch
  • .
Kreisgleichungen Wir stellen die Punkte der Möbius-Ebene in inhomogenen Koordinaten dar. Jede von der Nullmatrix verschiedene hermitesche Matrix (s.o.) bestimmt bis auf reelle Vielfache genau eine Kreisgleichung
Für liegt die Geradengleichung vor. Für setze man und : für liegt ein reeller Kreis mit Mittelpunkt und Radius vor, für ergibt sich ein Punktkreis für den Punkt , für ist der Kreis imaginär. Stereographisch projiziert: Ein Punkt wird stereographisch auf die Einheitskugel projiziert: Die Koordinaten des Bildpunktes auf der Kugel lauten: . Hiermit läßt sich die Kugeloberfläche parametrisieren. Diese Projektion läßt sich auch als Inversion an einer Kugel deuten!
Die stereographische Projektion läßt sich als Abbildung fortsetzen auf die durch hermiteschen Matrizen bestimmten Kreisgleichungen. Das Bild eines Kreises unter der stereographischen Projektion ist ein Kreis auf der Kugel, der als Schnitt der Kugel mit einer Ebene entsteht. Die Fortsetzung der stereographischen Projektion bildet den Kreis in auf den Pol der Schnitt-Ebene mit der Kugel ab. Das Bild eines Kreises mit Mittelpunkt und Radius :
Dies ist gerade der Pol des Kreises auf der Kugel. Er liegt auf der Projektionsgeraden durch und in . Die Verbindungsgeraden des Pols mit Punkten des Kreises auf der Kugel sind tangential an die Kugel. Rechnet man obige Zuordnung zurück auf die Koeefizienten der Kreisgleichung (s.o.)
so läßt sich die stereographische Projektion deuten als Abbildung ; hierdurch sind auch Geraden und nicht-reelle Kreise in erfaßt. Geometrische Bedeutung: Durch die stereographische Projektion wird jeder Kreisgleichung in im Kugelmodell der
Pol der zugehörigen Kreisebene zugeordnet. Begründung dafür, dass es sich um den Pol der Kreisebene handelt: (s. das Applet unten) Es genügt, die Ebene durch N (),Ursprung und zu betrachten. Die Rechnungen werden einfacher, wenn man in dieser Ebene komplex rechnet. Auf der -Achse erscheint der Kreis als Strecke bis mit Mittelpunkt . Stereographisch projiziert: und entsprechend . Mittelpunkt dieser Strecke: , am Einheitskreis gespiegelt: . Das ist der Pol der Geraden bezüglich des Einheitskreises. Die komplexen Rechnungen können mit geogebra-CAS kontrolliert werden.