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Hermitesche Produkte sonst

Auteur :Walter Füchte
Im Vorangegangenen haben wir nur den Fall zweier Infinitesimalen mit 4 verschiedenen Polen untersucht - und festgestellt, dass der Berührort, der durch das HERMITEsche Produkt berechnet wird, fast immer eine CASSINI-Quartik ist. Die Ausnahmen bei 4 verschiedenen Polen nennen wir unten. Die Fälle mit weniger Polen sind schnell erklärt: I: 3 verschiedene Pole - 2 nicht-isotrope Infinitesimalen mit einem gemeinsamen Pol: Wir wählen diesen gemeinsamen Pol als und können setzen: das sind die Verbindungsgeraden von mit den Punkten und .
  • Der Berührort ist der Fasskreis zum Winkel über .
II: 3 verschiedene Pole - eine Berührgerade und eine Schnittgerade durch zwei andere Pole: Wir wählen und , das ist die Verbindungsgerade von .
  • Im Berührort berühren die Kreise durch die Parallelen mit der Steigung . Das sind orthogonale Hyperbeln, möbiusgeometrisch invertierte Bernoulli-Lemniskaten. Siehe dazu das Applet unten.
III: 2 verschiedene Pole: Eine Schnittgerade und ein Pol dieser Schnittgeraden. Wir wählen diesen Pol wieder als . Der Berührort ist eine Gerade durch , welche die x-Achse unter dem Winkel schneidet. Der Fall zweier Infinitesimalen mit 2 gemeinsamen Polen liefert als Berührort diese Polstellen. IV: Nur 1 Pol: der Berührort besteht allein aus dieser Polstelle.
Es bleibt die Frage zu klären, in welchen Fällen die Quartik für zwei Infinitesimalen k e i n e CASSINI-Quartik ist, auch wenn 4 verschiedene Pole vorliegen. Dies ist der Fall, wenn nach gemeinsamer komplexer Umnormierung die Infinitesimalen zwei sich schneidende Geraden sind. In Normalform liegen die Pole dann auf der -Achse ( reell) oder auf dem Einheitskreis. Die Quartik besteht dann aus zwei orthogonalen Kreisen. Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.

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