Die Isoquanten-Funktionsgleichung
Grafische Darstellung der Isoquante
Man kann eine bestimmte Menge Output in der Produktion mit unterschiedlichen Kombinationen von Produktionsfaktoren erzeugen. Wir betrachten im weiteren nur Situationen, in denen es nur zwei Produktionsfaktoren gibt, und . Natürlich gibt es im realen Wirtschaftsleben in der Regel mehr als zwei Produktionsfaktoren, die den Output einer Produktion beeinflussen.
Wenn man alle Kombinationen der Produktionsfaktoren und betrachtet, mit der sich ein gewünschter Output "Outp" erzeugen lässt, dann erhält man viele Kombinationen . Diese kann man als Punkte darstellen und in ein Koordinatenkreuz eintragen. Dann liegen all diese Kombinationen zu diesem Output "Outp" auf einem Funktionsgrafen: Diesen kann man als y(x) als eine Funktionsgleichung darstellen. Es ist die Isoquante zur Outputmenge "Outp": .
Die Isoquante beschreibt also die Abhängigkeit eines Produktionsfaktors von einem zweiten Produktionsfaktor für eine ganz bestimmte Outputmenge.
Wie wir im vorhergehenden Kapitel festgestellt haben, ist das erzielen eines bestimmten Betrages mit unterschiedlichen Kombinationen von Produktionsfaktoren möglich: Eine Person mit einem Aufsitz-Rasenmäher kann in der gleichen Zeit genau so viel Rasen mähen, wie z.B. 10 Personen mit einem Hand-Rasenmäher. Je mehr Kapital eingesetzt wird, desto weniger Arbeitskraft ist notwendig. Ähnliche Abhängigkeiten können in nahezu jeder Branche wiedergefunden werden.
Die Funktionsgleichung der Isoquanten hat drei Parameter: , und :
Die Parameter der Isoquanten
a = untere Grenze für x
Der Parameter gibt die Menge des Produktionsfaktors an, die überschritten werden muss, damit überhaupt etwas ökonomisch sinnvoll produziert werden kann.
b = untere Grenze für y
Der Parameter gibt die Menge des Produktionsfaktors an, die überschritten werden muss, damit überhaupt etwas ökonomisch sinnvoll produziert werden kann.
k = ein Maß für den Output
Der Parameter steht in direkter Beziehung zum Output. Wenn und gleich bleiben, dann bedeutet ein höheres einen größeren Output des Unternehmens. Diese Abhängigkeit ist allerdings in der Regel nicht proportional. Das heißt ein doppelt so großes steht nicht für einen genau doppelt so großen Output. Man kann nur feststellen, dass ein größeres für einen größeren Output steht.
Output bei unterschiedlichen Kombinationen der Produktionsfaktoren x und y
Berechnen der Isoquantenfunktion
Aus der Tabelle oben lassen sich Kombinationen von und ablesen, die zu dem gleiche Ertrag führen.
Zum Beispiel die gelb hinterlegten Zahlen entsprechen den Kombinationen: , und .
Damit haben wir drei Informationen über unsere gesuchte Isoquantenfunktion für einen Output von . Das ist genug information um 3 unbekannte Parameter zu berechnen:
Einsetzen von in die Isoquantenfunktion ergibt:
Wenn man die gesamte Gleichung mit multipliziert, dann hat man eine Gleichung, in der es keinen Bruch mehr gibt:
Wenn man das gleiche mit den anderen beiden Kombinationen auch noch macht, dann erhält man drei Gleichungen:
Wenn wir von der zweiten Gleichung die erste abziehen, dann haben wir einen Parameter, das schon beseitigt:
Das gleiche kann man mit den Gleichungen und machen:
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur noch und enthalten. Das führt zu dem neuen Gleichungssystem:
Wenn wir die erste Zeile mit drei multiplizieren und dann Gleichung von Gleichung abziehen, erhalten wir
und durch Auflösen nach folgt daraus
Dieses A können wir in die Gleichung einsetzen, welche wir nach auflösen. Daraus folgt
Wenn wir diese berechneten Werte für und in die Gleichung einsetzen, erhalten wir:
Lösen Sie diese Gleichung nach auf und Sie erhalten
Damit sind alle drei Parameter bestimmt und unsere Isoquantenfunktion zum Output von heißt:
Wenn wir von der zweiten Gleichung die erste abziehen, dann haben wir einen Parameter, das schon beseitigt:
Das gleiche kann man mit den Gleichungen und machen:
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur noch und enthalten. Das führt zu dem neuen Gleichungssystem:
Wenn wir die erste Zeile mit drei multiplizieren und dann Gleichung von Gleichung abziehen, erhalten wir
und durch Auflösen nach folgt daraus
Dieses A können wir in die Gleichung einsetzen, welche wir nach auflösen. Daraus folgt
Wenn wir diese berechneten Werte für und in die Gleichung einsetzen, erhalten wir:
Lösen Sie diese Gleichung nach auf und Sie erhalten
Damit sind alle drei Parameter bestimmt und unsere Isoquantenfunktion zum Output von heißt:
Verwenden von Geogebra
Wie löst man diese Aufgabe mit dem Geogebra?