X(91) Isogonal conjugate of X(47)
- Auteur:
- chris cambré
- Onderwerp:
- Coördinaten
Isogonal conjugate of X(47)
Triangle center X(47) is the X(110)-beth conjugate of X(34).
Triangle center X(34) is the X(4) beth-conjugate of X(4).
X(4) (O in the applet ) is the triangle center where the altitudes cross.
A beth- conjugate is defined as follows:
Let P = p : q : r and U = u : v : w be points, neither lying on a sideline of ABC.
The P beth conjugate of U is the point h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) : h(b,c,a,q,r,p,v,w,u) : h(c,a,b,r,p,q,w,u,v),
where
h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) = 2abcp(cos B + cos C)(ua'/p + vb'/q + wc'/r) - (a+b+c)a'b'c'u,
where a', b', c' are - a + b + c, a - b + c, a + b - c.
X(110) is the focus of the Kiepert parabola.
Now, where X(34) already is a beth conjugate, triangle center X(47) is the X(110)-beth conjugate of X(34).
The isogonal conjugate of X47, triangle center X(47) can be constructed as follows:
- Reflect the lines AX47, BX47, CX47 about the bisectors of the triangle ABC (=blue lines)
- These blue lines cross at the triangle center X(91). The barycentric coordinates of this point depend on the angles of the triangle.
isogonale toegevoegde van X(47)
Driehoekscentrum X(47) is de X(110)-beth toegevoegde van X(34).
Driehoekscentrum X(34) is de X(4) beth toegevoegde van X(4).
X(4) (O in het applet) is het driehoekscentrum waar de hoogtelijnen elkaar snijden.
Een beth- toegevoegde wordt gedefinieerd al volgt:
P = p : q : r en U = u : v : w zijn punten die niet op een zijde van de driehoek liggen.
De P-beth toegevoegde van U is het punt h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) : h(b,c,a,q,r,p,v,w,u) : h(c,a,b,r,p,q,w,u,v),
met
h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) = 2abcp(cos B + cos C)(ua'/p + vb'/q + wc'/r) - (a+b+c)a'b'c'u,
waarin a', b', c' gelijk zijn aan - a + b + c, a - b + c, a + b - c
X(110) is het brandpunt van de Kiepert parabool.
Deze parabool heeft als richtlijn de Eulerlijn (rechte door het snijpunt van de hoogtelijnen, het zwaartepunt en het middelpunt van de omgeschreven cirkel.
Het isogonale toegevoegde punt van X47, het driehoekscentrum X(47) construeer je als volgt:
- Spiegel de rechten AX47, BX47, CX47 t.o.v. de bissectrices van ABC (=blauwe lijnen).
- Deze blauwe lijnen snijden elkaar in het driehoekscentrum X(91).