La caja de música

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Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Funciones. El mecanismo que hace funcionar una caja de música es sencillo. Un cilindro con pequeños remaches gira a velocidad constante. Casi rozándolo, en posición fija, se encuentra un peine de lengüetas metálicas. Cuando un remache del cilindro alcanza el peine, levanta la lengüeta que se encuentre a su misma altura y la deja caer, haciéndola sonar. A cada vuelta completa del cilindro, todo se repite una y otra vez exactamente igual. Las funciones periódicas se comportan de modo muy similar. Pero añaden una limitación: no puede haber dos remaches que suenen a la vez (es decir, se trata de melodías puras, sin acordes).
Preguntas
  1. Pulsa el botón de Reproducir-Parar (hazlo cada vez que quieras rodar o detener el cilindro; también puedes moverlo con precisión usando las teclas + y - en el deslizador superior izquierdo). ¿Cuánto recorre el cilindro en una vuelta completa? ¿Cuánto mide el radio del cilindro?
  2. El borde inferior del cilindro es un arco de hélice. ¿Qué relación hay entre ese arco de hélice y la expresión algebraica f(x) = x - 2 que aparece en la parte superior derecha?
  3. ¿Con qué periodicidad se repite (trasladada) el trozo de la gráfica de f(x)?
  4. La gráfica dibujada por el cilindro al rodar no es continua. ¿Por qué? ¿Cuál es el valor de f(0) y de f(2 Pi)?
  5. Mueve los deslizadores a y b. Explica qué efecto producen. ¿Varía el radio del cilindro al variar b? ¿Por qué?
  6. ¿Cuánto recorre el cilindro cuando a = 2? ¿Cuánto mide el radio del cilindro en ese caso? ¿Con qué periodicidad se repite ahora el trozo de la gráfica de f(x)?
  7. Elige a = 1, b = 0. Elige Elipse con el deslizador naranja. ¿Cuánto recorre el cilindro en una vuelta completa? ¿Cuánto mide el radio del cilindro?
  8. El borde inferior del cilindro es una elipse completa. ¿Con qué periodicidad se repite la gráfica de f(x) = sin(x)?
  9. Mueve los deslizadores a y b. Explica qué efecto producen. ¿Varía el radio del cilindro al variar b? ¿Por qué?
  10. ¿Cuánto recorre el cilindro cuando a = 2? ¿Cuánto mide el radio del cilindro en ese caso? ¿Con qué periodicidad se repite ahora el trozo de la gráfica de f(x)?
  11. Con el cilindro detenido, al mover b, ¿cómo se mueve el punto que está dibujando el cilindro? ¿Por qué?
  12. Elige Otra con el deslizador naranja. En esta posición, el radio del cilindro se mantendrá siempre igual a 1. La función que ahora se repite es un intervalo de f(x) = abs(x - Pi). ¿Qué intervalo es ese? ¿Cuál es la periodicicidad de la función cuya gráfica dibuja el cilindro al rodar? ¿Por qué la gráfica resultante es continua? Ensaya con otras funciones. Puedes cambiar esa función por cualquier otra, basta escribir en la barra de Entrada f(x)= y después la expresión de la función deseada. Por ejemplo, puedes escribir f(x)=1/x o bien f(x)=sqrt(x) (la raíz de x), etc.
Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. Esta actividad está presente en el Proyecto Gauss