Il metodo della parabola

Autore:
Ilic Ferretti
Argomento:
Algebra, Disequazioni, Parabola
IL NOSTRO PERCORSO VERSO LA SOLUZIONE In questo capitolo vogliamo imparare un metodo grafico, cioè che si aiuta con la visualizzazione su un disegno, per risolvere le disequazioni di secondo grado. Questo metodo si chiama "metodo della parabola" perché si utilizza in particolare con le espressioni di secondo grado che, disegnate sul piano, sono rappresentate da una curva chiamata appunto "parabola". Il metodo consiste nel disegnare la parabola associata alla nostra disequazione e ad usare il grafico per trovare le soluzioni. Per arrivare alla soluzione finale capendo quello che stiamo facendo, seguiremo un percorso in tre passi:
  1. faremo un esempio concreto di un problema per capire meglio cosa stiamo cercando
  2. vedremo come la rappresentazione grafica ci aiuta a "vedere" la soluzione
  3. perfezioneremo il metodo capendo quali sono le informazioni essenziali che ci servono per disegnare la parabola, in modo da calcolare solo quelle e lasciar perdere il resto
UN ESEMPIO PER PARTIRE Partiamo da un esempio concreto, da cui cercheremo di ottenere un metodo generale valido per tutti i casi. Vogliamo studiare come cambiano i soldi che ho in banca, particolare voglio sapere in quali giorni NON ho debiti (quindi in quali giorni il mio conto NON è negativo). Nel nostro esempio i soldi sul mio conto possono essere calcolati con la legge:

dove è il numero di giorni passati rispetto ad oggi. Quindi se voglio sapere i soldi che avrò domani, cioè fra 1 giorno, dovrò fare il calcolo con , cioè (l'espressione significa "calcolo quando la grandezza da cui dipende vale 1"). Se invece voglio i soldi che di due giorni fa (cioè fra giorni) calcolo (fai i conti sul quaderno per essere sicura/o di aver capito il ragionamento). Nel nostro esempio ci interessa sapere in quali giorni non ho debiti, cioè il mio conto deve essere positivo. Voglio quindi trovare quali valori di , sostituiti nell'espressione , restituiscono un risultato maggiore di zero (cioè positivo, appunto).
    Di fatto vogliamo risolvere la disequazione e trovare quali valori di la rendono vera. Creiamo una semplice tabella:
    • nella prima colonna inseriamo dei valori per i giorni (per il momento li scegliamo a caso)
    • nella seconda colonna calcoliamo il risultato, cioè i soldi che abbiamo.
    • nella terza colonna ci segniamo se in quel giorno siamo in positivo o no (cioè se il valore che abbiamo scelto per la soddisfa o no la disequazione, quindi è soluzione o no)
    Per maggiore chiarezza coloriamo in rosso i valori che soddisfano la disequazione (le sue soluzioni), in blu quelli che non la soddisfano.
    VALORE DI I SOLDI NEL GIORNO NEL GIORNO ABBIAMO UN SALDO POSITIVO?
    NO! il risultato è negativo! :(
    NO! il risultato è negativo! :(
    SI! il risultato è positivo, come richiede la disequazione! :)
    SI! il risultato è positivo, come richiede la disequazione! :)
    Continuando a compilare la tabella per TUTTI i giorni possibili possiamo vedere in quali giorni abbiamo un conto in positivo ed in quali è negativo, e quindi abbiamo risolto il nostro problema. Il metodo funziona, ma è molto lungo e decisamente noioso. Nel prossimo paragrafo iniziamo a cercare un modo per renderlo più semplice aiutandoci con la rappresentazione sul piano di questi dati.
    UN METODO GRAFICO PER "VEDERE" IL RISULTATO PIÙ VELOCEMENTE Vediamo nell'animazione qui sotto come rappresentando sul piano le coppie che abbiamo trovato (ogni giorno in coppia con i soldi che ho in quel giorno) possiamo fare un primo passo per risolvere graficamente (o visivamente) il nostro problema.
    SEMPLIFICARE IL METODO: TROVARE LE INFORMAZIONI ESSENZIALI Tramite il grafico abbiamo ottenuto una rappresentazione visiva di quali sono i giorni in cui il nostro conto in banca è positivo e quali no. Rimane però il problema che per vedere il grafico dobbiamo costruirlo, cioè calcolare tante coppie che ci indicano in ogni giorno quanti soldi abbiamo. Riusciamo ad utilizzare il grafico senza dover calcolare tutti questi punti? Per farlo dobbiamo capire quali sono le caratteristiche davvero importanti del grafico e trovare solo quelle. Ci accorgiamo che sono due:
    1. i punti importanti del grafico sono quelli in cui abbiamo 0 soldi, perchè sono quelli i punti che separano le parti rosse da quelle blu. Nel nostro esempio sono i punti ed . I valori di questi punti in cui la vale si chiamano "zeri" della funzione. Gli zeri della funzione "soldi in banca" sono quindi , la del punto , e , la di .
    2. l'altra cosa che dobbiamo sapere è l'orientamento del grafico, cioè dobbiamo per ogni zero dobbiamo sapere se la funzione sta scendendo da valori positivi a negativi (come nel punto nel nostro esempio) o viceversa sta salendo (come nel punto ): non è detto che il primo punto sia sempre "in discesa" ed il secondo "in salita".
    Per la prima questione dobbiamo chiederci quand'è che i nostri soldi valgono zero, cioè quand'è che gli zeri della funzione saranno i valori di che rendono vera l'equazione, cioè le sue soluzioni (usando la formula risolutrice si trova appunto . Per il secondo aspetto dovremmo conoscere qualcosa di più sulla forma del grafico che abbiamo ottenuto. Così come quando disegniamo un'espressione di primo grado sul piano otteniamo una retta, quando disegniamo un'equazione di secondo grado (come quella che ci permette di calcolare i soldi del nostro esempio) otteniamo una curva chiamata parabola.
    RIASSUMENDO...
    1. Per capire quando una espressione di secondo grado è positiva o negativa, usiamo un metodo visivo: osserviamo il grafico dell'espressione, che è una parabola, e guardiamo in quali intervalli delle la parabola risulta positiva (cioè sopra l'asse) o negativa (sotto l'asse).
    2. Per disegnare il grafico non abbiamo bisogno di calcolare tutti i punti della parabola: ci basta trovare le in cui l'espressione vale zero (sono i punti in cui la parabola incontra l'asse , che infatti ha equazione , e quindi passa da sotto a sopra o viceversa)
    3. Disegnati questi due punti osserviamo il coefficiente per sapere se la parabola è rivolta verso l'alto o verso il basso: seguendo questa indicazione disegniamo una parabola che contiene tutte le informazioni necessarie per capire quali sono gli intervalli che ci interessano.
    Vediamo nell'animazione qui sotto un esempio di applicazione del metodo per chiarirci le idee.
    Vediamo ora un paio di esempi un po' particolari di applicazione del metodo della parabola. Rivediamone i punti fondamentali. Il metodo si basa sul determinare il grafico della parabola trovando due informazioni:
    1. i punti in cui la parabola incontra l'asse delle ,
    2. L'orientamento della parabola, verso l'alto o verso il basso.
    Concentriamoci sul punto 1. Sappiamo che per trovare le intersezioni una parabola qualsiasi con l'asse delle , che ha equazione , bisogna metterli a sistema che. sostituendo lo al posto della nella prima equazione ci porta a Questa equazione viene chiamata equazione associata, perchè non è il nostro obiettivo principale, è solo un passaggio creato per risolvere meglio il problema iniziale. Come si vede è un'equazione di secondo grado e quindi può avere 2, 1 o anche 0 soluzioni. È importante non dimenticare che le soluzioni di questa equazione non sono quelle della disequazione che stiamo risolvendo: questa equazione ci sta solo dicendo in che punti la parabola incontra l'asse x. POSSIAMO E DOBBIAMO COMUNQUE DISEGNARE LA PARABOLA, se l'equazione associata è impossibile, ad esempio, vuol dire solo che la parabola NON tocca l'asse. Vediamo un esempio di questo tipo nella prossima animazione.
    Vediamo infine come interpretare il caso in cui l'equazione associata abbia una sola soluzione: come disegnare una parabola che tocca l'asse in un solo punto? L'esempio ci mostra anche che è importante confrontare OGNUNA delle condizioni richiesti dalla disequazione (nell'esempio che la quantità sia maggiore OPPURE uguale a zero) con quelle che la parabola soddisfa in uno o più dei suoi punti.

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