Über- und unterbestimmte GLS
- Autor:
- hawe
Das Behandeln von über- oder unterbestimmten Gleichungssystemen erfolgt analog dem Arbeitsblatt "Gauss n x n Algorithmus Script" . Das Ergebins muss unter Berücksichtigung einer ggf. unbestimmten Unbekannten interpretiert werden.
Das GLS muss evtl. umsortiert werden -Gleichungen (Zeilen) tauschen, Spalten (Unbekannte) tauschen damit eine Stufenform entsteht. Die Diagonalelement A(i,i)<>0 müssen ungleich Null sein und die rausfallenden Gleichungen (0 Zeilen) müssen nach unten gebracht werden.
| {x1 + x2 + 2 x3 = 1, -3 x1 + 2 x2 + x4 = 5, 8 x1 - 2 x2 - 2 x3 + 2 x4 = 0} A1:= {{1, 1, 2, 0, 1}, {-3, 2, 0, 1, 5}, {8, -2, -2, 2, 0}} | {2 x1 - 3 x2 = 11, -5 x1 + x2 = 8, x1 - 5 x2 = 16} A1:={{2, -3, 11}, {-5, 1, -8}, {1, -5, 16}} |
Beispiel
Ich übertrage das Gleichungssystem
GLS:={(-x1)+ (2*x2)+x3-x4+ (5*x5)=20,x1-x3+x4- (3*x5)=0,x1+ (10*x2)-x3+ (12*x5)=100,x1+ (12*x2)-x3+ (14*x5)=120}
mit X:={x1,x2,x3,x4,x5} in eine Matrix und generiere die erweitere Matrix Ae des GLS.
...
Es entstehen in der Spalte x3 im 2. Schritt A2 Null-Werte, was im nächsten Schritt eine Division durch Null zur Folge haben würde. Ich verschiebe deshalb die Spalte x3 auf die letzte Spalte durch die Änderung von X:={x1,x2,x4,x5,x3}.
Der MatrixRang(Ae)=3 sagt, dass das GLS drei unabhängige Gleichungen aufweist - also x1, x2, x4 bestimmt werden können und x3, x5 unbestimmt bleiben - x3 = t, x5 = r - notiert in . Den Tausch x3->x5 stelle ich auch in der Tauschmatrix L dar: Spalte 3 rückt nach Spalte 5.
A1=Ae überträgt die Matrix aus dem CAS ins Algebrafenster, wo das Skript die Zeilenoperationen zur Einheitsmatrix(3) durchführt.
Das Ergebnis aus E1 übertrage ich ins CAS. An (Join) hänge ich eine -1 an , um die rechte Seite der Gleichung auf die linke Seite zu holen und bestimme dann (Solve) x1, x2, x4.
Mit der Tauschmatrix L mache ich die Vertauschung auf X und rückgängig und stelle die Gesamt-Lösung in der richtigen Reihenfolge dar. Zum Schluß erfolgt die Probe durch Einsetzen der Lösung in das GLS. Passt - wahre Aussage!
Anpassungen an andere GLS
- Reihenfolge GLS anpassen, X einstellen, L Einheitsmatrix oder Tausch vergeben
- Zeilen 1 und 2 definieren L - eine Tauschmatrix, die die Reihenfolge der Unbekannten in X einstellt: {1,2,3,4) = Einheitsmatrix(4), keine Tauschaktion in X {1,2,4,5,3} = Tausche x4 nach Postion 3, x5 nach Position 4, x3 nach Position 5
- Neben GLS (nimmt das Gleichungssystem auf) muß X an die verwendeten Variablen der Unbekannten angepasst werden.
- Überprüfen der Rechenschritte im Algebrafenster und ggf. Spalten- oder Zeilentausch durchführen bis E1 für die zu bestimmenden Unbekannten eine Einheitsmatrix bildet. Ggf. die Skripte drüberlaufen lassen: Start - Triag - Diag - BackSubst
- übernimmt die zu bestimmenden Unbekannten aus X - ggf. anzupassen/festzulegen sind die Variablen der unbestimmten Unbekannten.
- Bei Unverträglichkeiten werden löscht ggb evtl. die Formeln im Algebrafenster - für die Skripte müssen n=Length(A1), m=Length(Element(A1,1) korrekte Ergebnisse bereitstellen! Wenn E1 gelöscht wird gehen die Zeilen im CAS verloren, die sich auf E1 beziehen!
Hilfsroutinen im CAS
Überführen eines GLS in Matrixform
Das Umstellen von Spalten (x3 getauscht mit x4) kann durch X:={x1,x2,x3,x4} erfolgen.
Die Reihenfolge der Gleichungen muss an GLS eingestellt werden.
(1) X:={x1,x2,x4,x3}
(2) GLS:={2x1-3x2+6x3+2x4-5x5=3,x2-4x3+x4=1,x4-3x5=2}
(3) nx:=Length(X)
(4) A:=Substitute(LeftSide(GLS),X = Identity(nx))
(5) Ae:=Transpose[Join(Transpose[A],{RightSide(GLS)})]
(6) MatrixRank(A)
Ae kann nun im Algebrafenster A1=Ae zugewiesen werden.
Darstellung der Lösung mit x4=t unbestimmt und Probe.
(7) Solve(E1*{x1,x2,x3,t,-1},{x1,x2,x3})
(8) Transpose(X) = Transpose(Substitute({x1, x2, x3, t},$7))
(9) Substitute(GLS,X = Substitute({x1, x2, x3, t},$7))