Utkast
Analysis I
Begleitmaterial zur Vorlesung Analysis I
Innehåll
Mengen, Logik, Funktionen
Zahlen
Folgen
- Folgen in expliziter und rekursiver Darstellung
- Monotonie und Schranken einer Folge
- Heron'sches (babylonisches) Wurzelziehen (Liste)
- Grenzwert einer Folge
- Grenzwert einer komplexen Folge
- Konvergenz einer Folge in C
- Supremum und Infimum einer Folge
- Supremum und Infimum: Charakterisierung mit ε
- Teilfolge
- Häufungswerte einer Folge
- Limes superior und inferior
- Cauchy-Folgen
Reihen
Stetige Funktionen
- Stetigkeit einer Funktion
- Gleichmäßige Stetigkeit
- Folgenkriterium
- Lipschitz-Stetigkeit
- Zwischenwertsatz
- Die Exponentialfunktion
- Exponentialfunktion und Umkehrfunktion
- Die trigonometrischen Funktionen
- Winkelfunktionen und hyperbolische Funktionen
- Gebrochen rationale Funktionen: Verhalten bei Polstellen
- Verkettung von Funktionen
Differentialrechnung
- Grenzwert einer Funktion
- Differenzen- und Differentialquotient
- Links- und rechtsseitiger Grenzwert für den Differentialquotient
- Andere Definitionen der Differenzierbarkeit
- Lupe und Tangente
- Grafisches Ableiten
- Satz von Rolle
- Mittelwertsatz der Differentialrechnung
- Das Newtonsche Näherungsverfahren
- Taylorpolynome
- Richtungsfeld für y' = k·y
- Konvexe und konkave Funktionen
Integralrechnung
- Integral und Treppenfunktion
- Riemannsumme 1
- Riemannsumme 2
- Riemannsumme 3
- Unter- und Obersumme
- Grenzwert von Ober- und Untersummen
- Mittelwertsatz der Integralrechnung
- Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen
- Uneigentliche Integrale
- Numerische Integration
- Berechnung des Rotationsvolumens
- Rotationskörper
- Cavalieri-Prinzip
- Volumen eines Kegels
- Gewölbte Staumauer mit Quadern
- Volumen eines Körpers
- Integralfunktion
- Mantelfläche
- Volumen einer Pyramide
- Volumen einer Pyramide
- Zur Begründung des Integralkriteriums
- Integral einer Treppenfunktion