Função Tangente: Descobrindo as Assíntotas e a Variação Infinita

Author:Greice_Lacerda

Prepare-se para uma exploração matemática diferente com o nosso Mathlet da Função Tangente no GeoGebra! Bem-vindos à nossa exploração da função tangente! Diferente das ondas senoidais e cossenoidais, a tangente nos apresenta um comportamento único, caracterizado por repetições de curvas que se estendem ao infinito, separadas por linhas verticais. A função tangente é essencial em áreas como a física de ondas, telecomunicações e geometria. Nesta atividade, usaremos um Mathlet para entender como os parâmetros r, n, i, u e d afetam a inclinação, o período, o posicionamento das assíntotas e os deslocamentos da função . Objetivo: Entender como cada pequeno ajuste na fórmula afeta a forma, o tamanho e a posição das curvas da função. Preparem-se para observar, experimentar e descobrir!

Instruções:

1) Observem a função

no canto superior esquerdo. Esta é a nossa base de trabalho.

2) Interajam com cada um dos controles deslizantes: r, n, i, u e d. Mova cada um individualmente e observe atentamente o que acontece com o gráfico. 3) Usem o Mathlet como uma ferramenta de experimentação para responder às seis questões a seguir. As respostas podem ser baseadas em suas observações e cálculos.

Com base na exploração da Função Tangente, responda as perguntas a seguir para aprofundar o entendimento da natureza dessa função:

Questão 1: Período da Tangente

O período da função tangente é naturalmente π, e não 2π como nas funções seno e cosseno. Mantenha os parâmetros u, r e d em zero. O que você precisa fazer com o multiplicador n e o divisor i para que o período da sua função seja de ?

Questão 2: Assíntotas

Com os parâmetros na configuração padrão (r = 1, n = 2, i =1, u = 0, d = 0), observe as assíntotas verticais. a) Em quais valores de x as primeiras cinco assíntotas positivas ocorrem? b) Qual é a distância entre elas?

Questão 3: Parâmetro r

Na função seno, r controla a amplitude. Na tangente, a função não tem amplitude. a) O que acontece com o gráfico quando você aumenta o valor de r de 1 para 5? Descreva a mudança visual na curva. b) E quando você diminui para 0,5? Descreva a mudança visual na curva.

Questão 4: Deslocamento de Fase e Assíntotas

Mantenha os parâmetros r, n, i e d na configuração padrão inicial. Qual valor de u você precisa usar para que a assíntota que atualmente está em x = se mova para o eixo y (ou seja, x = 0)?

Questão 5: Deslocamento Vertical

Comece com todos os parâmetros na configuração padrão. Mude o valor do deslocamento vertical d para 2. a) Como isso afeta o gráfico? b) Onde a curva agora cruza a linha vertical no centro do seu período?

Análise de Ressonância em uma Ponte Suspensa

A amplitude de vibração de uma ponte suspensa sob a ação do vento pode ser modelada por uma função trigonométrica que se aproxima do infinito (ruptura) à medida que a frequência do vento se aproxima da frequência natural do sistema. A função tangente é a escolha ideal para esse modelo, pois seu comportamento assintótico reflete a ressonância. Considere a Ponte do Rio Acelerado, cuja amplitude de vibração A(x) (em metros) em função da frequência do vento x (em Hertz) é dada por: . Onde: * u é a frequência crítica que representa o ponto de equilíbrio da oscilação (não o ponto de ruptura). * A frequência de ressonância, onde a amplitude teórica é infinita, é de x_res = 1,25 Hz. Os engenheiros da ponte coletaram os seguintes dados: 1. Quando a frequência do vento é x = 0,5 Hz, a amplitude de vibração é nula (H = 0). 2. Quando a frequência do vento é x = 0,75 Hz, a amplitude de vibração é de 2 metros. Use essas informações para responder os itens abaixo:

a) Determinação dos Parâmetros

i) Qual a relação entre a frequência de ressonância (x_res) e os parâmetros e u? Use a propriedade da assíntota vertical da função tangente. ii) Utilizando a informação de que a frequência de ressonância é 1,25 Hz, determine o valor do parâmetro para a função.

iii) Determine os valores dos parâmetros r, d e u usando os dados fornecidos pelos engenheiros. iv) Escreva a função completa H(x) com todos os parâmetros numéricos determinados.

b) Análise e Aplicação da Função

i) Qual é a amplitude de vibração da ponte quando a frequência do vento é de 1,1 Hz? ii) Qual a sua interpretação sobre esse valor em relação à segurança da ponte? iii) No contexto físico, o que o parâmetro d representa? E o que a frequência crítica u significa para a estabilidade da ponte? iv) Se o vento soprasse com uma frequência de 1,2 Hz, qual seria a amplitude de vibração? O que este resultado sugere sobre o modelo matemático em frequências próximas da ressonância?

c) Justificativa Teórica

i) Explique, matematicamente, por que a função tangente é a mais adequada para modelar este fenômeno de ressonância, em comparação com as funções seno ou cosseno. ii) Discuta a relevância de sua periodicidade e das assíntotas verticais neste contexto.

O que você achou mais intrigante na função tangente? Compartilhe suas observações e perguntas nos comentários! Não se esqueça de marcar aqueles que adorariam explorar essa função matemática conosco!