6-Ecknetze aus Geraden

Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.(Juli 2019)

Der Satz von GRAF und SAUER (1925), siehe

Literaturverzeichnis [GRA_SA], besagt:

"Jede geradlinige Sechseckwabe besteht aus den Tangenten einer ebenen Kurve dritter Klasse"

Dem Applet oben liegt als Kurve 3. Klasse eine Parabel zusammen mit einem weiteren Punkt zugrunde. Der Punkt ist hier konkret der Brennpunkt, es könnte aber auch fast jeder andere sein! Und an Stelle der Parabel kann man sich jeden Typ von Kegelschnitt denken, sogar einen solchen, der in 2 weitere Punkte zerfällt! Denn: 3 Geradenbüschel erzeugen stets ein Sechs-Eck-Netz. Was ist eine Kurve 3. Klasse? Die Anzahl der Tangenten, die sich „in der Regel“ von einem nicht auf der Kurve liegenden Punkt aus an eine Kurve d-ter Ordnung legen lassen, heißt die Klasse

der Kurve. (wikipedia Algebraische Kurven). Es gilt die PLÜCKERsche Formel:

; dabei ist

die Ordnung der Kurve,

die Anzahl der Doppelpunkte und

die Anzahl der Spitzen. Beispiele: (siehe auch die nächsten book-Seiten)

Die Normalen einer Parabel sind Tangenten einer NEILschen Parabel, das ist eine Kurve 3. Ordnung mit einer Spitze!
Eine kubische Funktion ist eine Kurve 3. Ordnung mit einer Spitze in .
Alle Kurven 3. Ordnung mit einer Spitze ohne Doppelpunkt:
- Versiera der AGNESI ;
- Visiera-Kurve ;
- Zissoide von FERMAT:

Viel Spaß beim Ausprobieren und beim Suchen anderer geeigneten Kurven!

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